Matemática: La complejidad de Navier-Stokes... ¿cómo se aplicaría a la economía?

¿Qué hace que las ecuaciones más difíciles en física sean tan difíciles?

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen fenómenos simples y cotidianos, como el agua que fluye de una manguera de jardín, pero proporcionan un desafío matemático de un millón de dólares.




Kevin Hartnett  |  Quanta Magazine

La física contiene ecuaciones que describen todo, desde el estiramiento del espacio-tiempo hasta el flitter de los fotones. Sin embargo, solo un conjunto de ecuaciones se considera matemáticamente desafiante y ha sido elegido como uno de los siete "Premios del Milenio" otorgados por el Clay Mathematics Institute con una recompensa de $ 1 millón: las ecuaciones de Navier-Stokes, que describen cómo fluyen los fluidos.

El mes pasado escribí una historia sobre un nuevo resultado importante relacionado con esas ecuaciones. En todo caso, el nuevo trabajo sugiere que el progreso en el Premio del Milenio será aún más difícil de lo esperado. ¿Por qué estas ecuaciones, que describen fenómenos familiares como el agua que fluye a través de una manguera, son mucho más difíciles de comprender matemáticamente que, por ejemplo, las ecuaciones de campo de Einstein, que implican objetos estupefacientes como los agujeros negros?

La respuesta, descubrí, es la turbulencia. Es algo que todos hemos experimentado, ya sea volando a través de aire entrecortado a 30,000 pies o viendo un remolino acumularse en el desagüe de la bañera. Sin embargo, la familiaridad no ha generado conocimiento: la turbulencia es una de las partes menos entendidas del mundo físico.



Un ejemplo de un flujo no turbulento es un río suave: cada parte del río se mueve en la misma dirección a la misma velocidad. Un fluido turbulento es la fracturación de ese río, de modo que diferentes partes del flujo se mueven en diferentes direcciones a diferentes velocidades. Los físicos describen la formación de turbulencias como, primero, un remolino en un flujo suave, y luego la formación de remolinos dentro de ese remolino, y remolinos más finos dentro de esos remolinos: se desplazan hacia abajo, de modo que el fluido se rompe en partes discretas , todos interactuando, cada uno moviéndose a su manera.

Los investigadores quieren entender exactamente cómo un flujo suave se descompone en un flujo turbulento y modelar la forma futura de un fluido una vez que la turbulencia ha tomado el control. Pero el Premio del Milenio pide algo mucho más modesto: demostrar que las soluciones siempre existirán. Es decir, ¿pueden las ecuaciones describir cualquier fluido, desde cualquier condición inicial, indefinidamente en el futuro?

"Un primer paso es simplemente tratar de demostrar que las ecuaciones dan lugar a algunas soluciones", dijo Charlie Fefferman, un matemático de la Universidad de Princeton. "Eso no da una comprensión real de cómo se comportan los líquidos, pero si no tienes eso, no sabes nada".

Entonces, ¿cómo demuestra que existen soluciones? Bueno, comienza pensando en lo que podría hacer que no existan. Las ecuaciones de Navier-Stokes implican el cálculo de cambios en cantidades como la velocidad y la presión. Los matemáticos se preocupan por este tipo de escenario: estás ejecutando las ecuaciones, y después de una cantidad finita de tiempo, te dicen que una partícula en el fluido se mueve infinitamente rápido. Eso sería un problema porque no puede calcular el cambio de un valor infinito más de lo que puede dividir por cero. Los matemáticos se refieren a tales escenarios como "explosión", y en un escenario de expansión, diría que las ecuaciones se rompen y que las soluciones no existen.





Demostrar que la explosión no ocurre (y que las soluciones siempre existen) equivale a demostrar que la velocidad máxima de cualquier partícula dentro del fluido permanece limitada por debajo de un número finito. Una de las cantidades más importantes de estas es la energía cinética en el fluido.

Cuando comiences a modelar un flujo usando Navier-Stokes, tu fluido tendrá una cantidad inicial de energía. Pero en un flujo turbulento, esa energía puede concentrarse. En lugar de distribuirse uniformemente a través del río, la energía cinética se puede acumular en remolinos arbitrariamente pequeños, y las partículas en esos remolinos podrían (en teoría) acelerarse a una velocidad infinita.

"A medida que voy a escalas cada vez más pequeñas, la energía cinética se vuelve cada vez menos útil para controlar la solución. Mi solución puede hacer lo que quiera, y no sabré cómo controlarla ", dijo Vlad Vicol, un matemático de la Universidad de Princeton y coautor con Tristan Buckmaster del nuevo trabajo.

Los matemáticos clasifican las ecuaciones diferenciales parciales, como Navier-Stokes, en función del grado en que pueden descontrolarse a escalas infinitesimalmente pequeñas. Navier-Stokes está en el extremo del espectro. La dificultad de las matemáticas de la ecuación es, en cierto sentido, un reflejo exacto de la complejidad de los flujos turbulentos que supuestamente pueden describir.

"Cuando se acerca un punto, desde un punto de vista matemático se pierde información sobre la solución", dijo Vicol. "Pero la turbulencia está destinada a describir exactamente esto: la transferencia de energía cinética de escalas grandes a escalas más pequeñas y más pequeñas, por lo que es exactamente pedirle que haga un acercamiento".




Siempre que hable de las matemáticas de las ecuaciones de la física, es natural preguntarse: ¿algo de esto cambiará la manera en que pensamos sobre el mundo físico? Con las ecuaciones de Navier-Stokes y el Premio del Milenio, la respuesta es sí y no. Después de casi 200 años de experimentos, está claro que las ecuaciones funcionan: los flujos pronosticados por Navier-Stokes coinciden consistentemente con los flujos observados en los experimentos. Si eres un físico que trabaja en un laboratorio, esa correspondencia puede ser suficiente. Pero los matemáticos quieren saber más que eso: quieren poder verificar si se pueden seguir las ecuaciones en su totalidad, ver exactamente cómo cambia un flujo momento a momento (para cualquier configuración inicial de un fluido) e incluso señalar con precisión el inicio de la turbulencia

"El comportamiento de los fluidos proporciona sorpresas", dijo Fefferman. "Las sorpresas se explican en principio por las ecuaciones fundamentales que le dicen a los fluidos cómo moverse, pero obtener de las ecuaciones que le dicen a los fluidos cómo moverse a cualquier descripción de cómo se mueven realmente los fluidos es muy misterioso".

Tracy-Widom: Una nueva distribución para variables correlacionadas

En los fines lejanos de una nueva ley universal

Ha surgido una potente teoría que explica una misteriosa ley estadística que surge a lo largo de la física y las matemáticas.


Natalie Wolchover | Quanta Magazine

Olena Shmahalo / Quanta Magazine

Imagine un archipiélago en el que cada isla alberga una sola especie de tortuga y todas las islas están conectadas, digamos a través de balsas de restos. A medida que las tortugas interactúan sumergiéndose en los suministros de alimentos de los demás, sus poblaciones fluctúan.

En 1972, el biólogo Robert May ideó un modelo matemático simple que funcionó muy parecido al archipiélago. Quería averiguar si un ecosistema complejo puede ser estable o si las interacciones entre las especies inevitablemente llevan a algunos a eliminar a otros. Al indexar las interacciones aleatorias entre especies como números aleatorios en una matriz, calculó la "fuerza de interacción" crítica, una medida del número de balsas flotantes, por ejemplo, necesaria para desestabilizar el ecosistema. Por debajo de este punto crítico, todas las especies mantuvieron poblaciones estables. Por encima, las poblaciones dispararon hacia cero o hacia el infinito.

Poco sabía May, el punto de inflexión que descubrió fue uno de los primeros atisbos de una ley estadística curiosamente penetrante.


Harold Widom, a la izquierda, y Craig Tracy representaron en 2009 en el Oberwolfach Research Institute for Mathematics en Alemania.

La ley apareció en forma completa dos décadas más tarde, cuando los matemáticos Craig Tracy y Harold Widom demostraron que el punto crítico en el tipo de modelo que May utilizó fue el pico de una distribución estadística. Luego, en 1999, Jinho Baik, Percy Deift y Kurt Johansson descubrieron que la misma distribución estadística también describe variaciones en las secuencias de números enteros mezclados, una abstracción matemática completamente no relacionada. Pronto apareció la distribución en modelos del perímetro retorcedor de una colonia bacteriana y otros tipos de crecimiento aleatorio. En poco tiempo, estaba apareciendo en toda la física y las matemáticas.

"La gran pregunta fue por qué", dijo Satya Majumdar, un físico estadístico de la Universidad de París-Sud. "¿Por qué aparece en todas partes?"

Los sistemas de muchos componentes que interactúan, ya sean especies, enteros o partículas subatómicas, siguieron produciendo la misma curva estadística, que se conoció como la distribución Tracy-Widom. Esta desconcertante curva parecía ser el primo complejo de la curva de campana familiar, o distribución gaussiana, que representa la variación natural de variables aleatorias independientes como las alturas de los estudiantes en un salón de clases o los puntajes de sus exámenes. Al igual que el gaussiano, la distribución de Tracy-Widom exhibe "universalidad", un fenómeno misterioso en el que diversos efectos microscópicos dan lugar al mismo comportamiento colectivo. "La sorpresa es que es tan universal como es", dijo Tracy, profesor de la Universidad de California en Davis.

Cuando se descubren, las leyes universales como la distribución de Tracy-Widom permiten a los investigadores modelar con precisión sistemas complejos cuyo funcionamiento interno conocen poco, como los mercados financieros, las fases exóticas de la materia o Internet.

"No es obvio que podría tener una comprensión profunda de un sistema muy complicado utilizando un modelo simple con solo algunos ingredientes", dijo Grégory Schehr, un físico estadístico que trabaja con Majumdar en Paris-Sud. "La universalidad es la razón por la cual la física teórica es tan exitosa".

La universalidad es "un misterio intrigante", dijo Terence Tao, matemático de la Universidad de California en Los Ángeles, quien ganó la prestigiosa Medalla Fields en 2006. ¿Por qué ciertas leyes parecen surgir de sistemas complejos ?, preguntó, "casi independientemente de la ¿mecanismos subyacentes que impulsan esos sistemas al nivel microscópico? "

Ahora, a través de los esfuerzos de investigadores como Majumdar y Schehr, comienza a surgir una explicación sorprendente para la ubicua distribución de Tracy-Widom.

Curva torcida

La distribución de Tracy-Widom es un golpe estadístico asimétrico, más inclinado en el lado izquierdo que en el derecho. Con una escala adecuada, su cumbre se encuentra en un valor revelador: √2N, la raíz cuadrada del doble del número de variables en los sistemas que lo originan y el punto de transición exacto entre estabilidad e inestabilidad que May calculó para su ecosistema modelo.

El punto de transición correspondía a una propiedad de su modelo matricial llamado "eigenvalor más grande": el más grande en una serie de números calculados a partir de las filas y columnas de la matriz. Los investigadores ya habían descubierto que los N autovalores de una "matriz aleatoria", uno lleno de números aleatorios, tienden a separarse a lo largo de la recta numérica real de acuerdo con un patrón distinto, con el eigenvalor más grande típicamente ubicado en o cerca de 2N. Tracy y Widom determinaron cómo los eigenvalores más grandes de las matrices aleatorias fluctúan en torno a este valor promedio, acumulándose en la distribución estadística desequilibrada que lleva sus nombres.



Mientras que las variables aleatorias "no correlacionadas" como los puntajes de los exámenes se extienden a la distribución gaussiana en forma de campana, las especies interactuantes, las existencias financieras y otras variables "correlacionadas" dan lugar a una curva estadística más complicada. Más pronunciada a la izquierda que a la derecha, la curva tiene una forma que depende de N, el número de variables.

Cuando la distribución de Tracy-Widom apareció en el problema de secuencias enteras y otros contextos que nada tenían que ver con la teoría de matrices aleatorias, los investigadores comenzaron a buscar el hilo oculto que unía todas sus manifestaciones juntas, tal como los matemáticos en los siglos XVIII y XIX buscaron un Teorema que explicaría la ubicuidad de la distribución gaussiana en forma de campana.

El teorema del límite central, que finalmente se hizo riguroso hace aproximadamente un siglo, certifica que los puntajes de las pruebas y otras variables "no correlacionadas", lo que significa que cualquiera de ellas puede cambiar sin afectar el resto, formará una curva de campana. Por el contrario, la curva de Tracy-Widom parece surgir de variables que están fuertemente correlacionadas, como las especies interactuantes, los precios de las acciones y los valores propios de la matriz. El ciclo de retroalimentación de los efectos mutuos entre las variables correlacionadas hace que su comportamiento colectivo sea más complicado que el de las variables no correlacionadas, como los puntajes de las pruebas. Si bien los investigadores han probado rigurosamente ciertas clases de matrices aleatorias en las que la distribución Tracy-Widom se mantiene universalmente, tienen un manejo más flexible de sus manifestaciones en el conteo de problemas, problemas de caminata aleatoria, modelos de crecimiento y más allá.

"Nadie sabe realmente lo que necesita para obtener Tracy-Widom", dijo Herbert Spohn, un físico matemático de la Universidad Técnica de Munich en Alemania. "Lo mejor que podemos hacer", dijo, es descubrir gradualmente el alcance de su universalidad mediante ajustes de sistemas que muestren la distribución y vean si las variantes también lo generan.

Hasta ahora, los investigadores han caracterizado tres formas de la distribución de Tracy-Widom: versiones reescaladas entre sí que describen sistemas fuertemente correlacionados con diferentes tipos de aleatoriedad inherente. Pero podría haber muchos más de tres, tal vez incluso un número infinito, de las clases de universalidad de Tracy-Widom. "El gran objetivo es encontrar el alcance de la universalidad de la distribución de Tracy-Widom", dijo Baik, profesor de matemáticas en la Universidad de Michigan. "¿Cuántas distribuciones hay? ¿Qué casos dan lugar a cuáles? "

Como otros investigadores identificaron más ejemplos del pico de Tracy-Widom, Majumdar, Schehr y sus colaboradores comenzaron a buscar pistas en las colas izquierda y derecha de la curva.

Pasando por una fase

Majumdar se interesó por el problema en 2006 durante un taller en la Universidad de Cambridge en Inglaterra. Conoció a un par de físicos que usaban matrices aleatorias para modelar el espacio abstracto de la teoría de cuerdas de todos los universos posibles. Los teóricos de la secuencia razonaron que los puntos estables en este "paisaje" correspondían al subconjunto de matrices aleatorias cuyos valores propios más grandes eran negativos, muy a la izquierda del valor promedio de √2N en el pico de la curva Tracy-Widom. Se preguntaban cuán raros podrían ser estos puntos estables, las semillas de universos viables.

Para responder a la pregunta, Majumdar y David Dean, ahora de la Universidad de Burdeos en Francia, se dieron cuenta de que necesitaban derivar una ecuación que describe la cola a la extrema izquierda del pico Tracy-Widom, una región de distribución estadística que nunca sido estudiado En un año, su derivación de la "función de desviación grande" izquierda apareció en Physical Review Letters. Utilizando diferentes técnicas, Majumdar y Massimo Vergassola del Instituto Pasteur en París calcularon la función de desviación grande tres años después. A la derecha, Majumdar y Dean se sorprendieron al descubrir que la distribución se redujo a una tasa relacionada con la cantidad de valores propios, N; a la izquierda, se reducía más rápidamente, en función de N2.

En 2011, la forma de las colas izquierda y derecha dio a Majumdar, Schehr y Peter Forrester, de la Universidad de Melbourne en Australia, un destello de visión: se dieron cuenta de que la universalidad de la distribución Tracy-Widom podría estar relacionada con la universalidad de las transiciones de fase, eventos como el agua que se congela en el hielo, el grafito se convierte en diamante y los metales comunes se transforman en extraños superconductores.

Debido a que las transiciones de fase están tan generalizadas -todas las sustancias cambian las fases cuando se alimentan o carecen de suficiente energía- y toman solo un puñado de formas matemáticas, son para los físicos estadísticos "casi como una religión", dijo Majumdar.


Satya Majumdar, izquierda, y Grégory Schehr en la Universidad de Paris-Sud.

En los minúsculos márgenes de la distribución de Tracy-Widom, Majumdar, Schehr y Forrester reconocieron formas matemáticas familiares: curvas distintas que describen dos tasas de cambio diferentes en las propiedades de un sistema, inclinándose hacia abajo desde cualquier lado de un pico de transición. Estos fueron los adornos de una transición de fase.

En las ecuaciones termodinámicas que describen el agua, la curva que representa la energía del agua en función de la temperatura tiene un torcedura a 100 grados Celsius, el punto en el que el líquido se convierte en vapor. La energía del agua aumenta lentamente hasta este punto, de repente salta a un nuevo nivel y luego aumenta lentamente nuevamente a lo largo de una curva diferente, en forma de vapor. Crucialmente, donde la curva de energía tiene un retorcimiento, la "primera derivada" de la curva, otra curva que muestra cuán rápido cambia la energía en cada punto, tiene un pico.

De manera similar, los físicos se dieron cuenta de que las curvas de energía de ciertos sistemas fuertemente correlacionados tienen un torcedura en √2N. El pico asociado para estos sistemas es la distribución Tracy-Widom, que aparece en la tercera derivada de la curva de energía, es decir, la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la energía. Esto hace que la distribución de Tracy-Widom sea una transición de fase de "tercer orden".

"El hecho de que aparece en todas partes está relacionado con el carácter universal de las transiciones de fase", dijo Schehr. "Esta transición de fase es universal en el sentido de que no depende demasiado de los detalles microscópicos de su sistema".

De acuerdo con la forma de las colas, las fases de transición de fase separadas de los sistemas cuya energía escala con N2 a la izquierda y N a la derecha. Pero Majumdar y Schehr se preguntaron qué caracterizó esta clase de universalidad de Tracy-Widom; ¿Por qué siempre aparecieron las transiciones de fase de tercer orden en sistemas de variables correlacionadas?

La respuesta estaba enterrada en un par de documentos esotéricos de 1980. Una transición de fase de tercer orden había aparecido antes, identificada ese año en una versión simplificada de la teoría que gobierna los núcleos atómicos. Los físicos teóricos David Gross, Edward Witten y (independientemente) Spenta Wadia descubrieron una transición de fase de tercer orden que separa una fase de "acoplamiento débil", en la cual la materia toma la forma de partículas nucleares y una fase de "acoplamiento fuerte" de temperatura más alta, en que la materia se funde en el plasma. Después del Big Bang, el universo probablemente pasó de una fase de acoplamiento fuerte a débil cuando se enfrió.

Después de examinar la literatura, Schehr dijo que él y Majumdar "se dieron cuenta de que había una conexión profunda entre nuestro problema de probabilidad y esta transición de fase de tercer orden que las personas habían encontrado en un contexto completamente diferente".

Débil a fuerte

Majumdar y Schehr han acumulado evidencia sustancial de que la distribución de Tracy-Widom y sus grandes colas de desviación representan una transición de fase universal entre las fases de acoplamiento débil y fuerte. En el modelo de ecosistemas de mayo, por ejemplo, el punto crítico en √2N separa una fase estable de especies débilmente acopladas, cuyas poblaciones pueden fluctuar individualmente sin afectar el resto, de una fase inestable de especies fuertemente acopladas, en las cuales las fluctuaciones se transmiten por el ecosistema y desháganse del equilibrio En general, Majumdar y Schehr creen que los sistemas en la clase de universalidad de Tracy-Widom exhiben una fase en la que todos los componentes actúan de manera concertada y otra fase en la que los componentes actúan solos.

La asimetría de la curva estadística refleja la naturaleza de las dos fases. Debido a las interacciones mutuas entre los componentes, la energía del sistema en la fase de acoplamiento fuerte a la izquierda es proporcional a N2. Mientras tanto, en la fase de acoplamiento débil de la derecha, la energía depende solo del número de componentes individuales, N.

"Cada vez que tiene una fase fuertemente acoplada y una fase débilmente acoplada, Tracy-Widom es la función de conexión cruzada entre las dos fases", dijo Majumdar.

El trabajo de Majumdar y Schehr es "una contribución muy agradable", dijo Pierre Le Doussal, físico de École Normale Supérieure en Francia, que ayudó a probar la presencia de la distribución Tracy-Widom en un modelo de crecimiento estocástico llamado la ecuación KPZ. En lugar de centrarse en el pico de la distribución de Tracy-Widom, "la transición de fase es probablemente el nivel más profundo" de la explicación, dijo Le Doussal. "Básicamente, debería hacernos pensar más sobre tratar de clasificar estas transiciones de tercer orden".

Leo Kadanoff, el físico estadístico que introdujo el término "universalidad" y ayudó a clasificar las transiciones de fase universales en la década de 1960, dijo que desde hace tiempo le queda claro que la universalidad en la teoría de matrices aleatorias debe estar conectada de algún modo con la universalidad de las transiciones de fase. Pero mientras que las ecuaciones físicas que describen las transiciones de fase parecen coincidir con la realidad, muchos de los métodos computacionales utilizados para derivarlos nunca han sido matemáticamente rigurosos.

"Los físicos, en un aprieto, se conformarán con una comparación con la naturaleza", dijo Kadanoff, "Los matemáticos quieren pruebas: una prueba de que la teoría de la transición de fases es correcta; pruebas más detalladas de que las matrices aleatorias caen en la clase de universalidad de las transiciones de fase de tercer orden; prueba de que existe tal clase ".

Para los físicos involucrados, bastará una preponderancia de evidencia. La tarea ahora es identificar y caracterizar las fases de acoplamiento fuerte y débil en más de los sistemas que exhiben la distribución de Tracy-Widom, como los modelos de crecimiento, y predecir y estudiar nuevos ejemplos de la universalidad de Tracy-Widom a lo largo de la naturaleza.

El signo revelador será la cola de las curvas estadísticas. En una reunión de expertos en Kioto, Japón, en agosto, Le Doussal se encontró con Kazumasa Takeuchi, un físico de la Universidad de Tokio que informó en 2010 que la interfaz entre dos fases de un material de cristal líquido varía según la distribución de Tracy-Widom. Hace cuatro años, Takeuchi no había reunido suficientes datos para graficar valores extremos estadísticos extremos, como picos prominentes a lo largo de la interfaz. Pero cuando Le Doussal suplicó a Takeuchi que trazara los datos nuevamente, los científicos vieron el primer vistazo de las colas izquierda y derecha. Le Doussal envió inmediatamente un correo electrónico a Majumdar con las noticias.

"Todos miran solo el pico de Tracy-Widom", dijo Majumdar. "No miran las colas porque son cosas muy, muy pequeñas".

Corrección: este artículo fue revisado el 17 de octubre de 2014, para aclarar que Satya Majumdar colaboró ​​con Massimo Vergassola para calcular la función correcta de desviación grande, y para reflejar que la idea de Forrester, Majumdar y Schehr ocurrió en 2011, no en 2009 como se dijo originalmente .

Enseñar filosofía a los niños los hace mejores en matemática y lengua

La enseñanza de la filosofía de los niños les hace más inteligentes en matemáticas e inglés
Por Jenny Anderson - Quartz


El poder de reflexionar. (Reuters / Kim Kyung)


Las escuelas se enfrentan a una presión incesante para aumentar sus ofertas en los campos STEM-ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas. Pocas personas están defendiendo la filosofía.
Tal vez deberían.
Los niños de nueve y 10 años en Inglaterra que participaron en una clase de filosofía una vez a la semana a lo largo de un año, aumentaron significativamente sus habilidades matemáticas y de alfabetización, y los estudiantes desfavorecidos mostraron los logros más significativos, Estudio diseñado (pdf).
Más de 3.000 niños en 48 escuelas de toda Inglaterra participaron en discusiones semanales sobre conceptos tales como la verdad, la justicia, la amistad y el conocimiento, con el tiempo esculpido para la reflexión silenciosa, el cuestionamiento, la interrogación y la construcción de pensamientos e ideas.
Los niños que tomaron el curso aumentaron las calificaciones de matemáticas y lectura por el equivalente a dos meses adicionales de enseñanza, a pesar de que el curso no fue diseñado para mejorar la alfabetización o la aritmética. Los niños de los entornos desfavorecidos vieron un salto aún más grande en el rendimiento: las habilidades de lectura aumentaron en cuatro meses, las matemáticas en tres meses y la escritura en dos meses. Los maestros también reportaron un impacto beneficioso en la confianza y habilidad de los estudiantes para escuchar a otros.
El estudio fue realizado por la Fundación de Dotación Educativa (EEF), un grupo sin fines de lucro que quiere cerrar la brecha entre el ingreso familiar y el logro educativo. El EEF probó la efectividad de la intervención de filosofía a través de un ensayo controlado aleatorio, similar a la forma en que se prueban muchos fármacos.
Veintidós escuelas actuaron como un grupo de control, mientras que los estudiantes en los otros 26 tomaron la clase de filosofía (que se reunió una vez por semana durante 40 minutos). Los investigadores trataron de controlar la calidad de la escuela: en cada uno de ellos, por lo menos una cuarta parte de los estudiantes recibieron almuerzo gratis y muchos tenían poblaciones significativas que se desempeñaban por debajo del nivel del grado.
Los efectos beneficiosos de la filosofía duraron dos años, y el grupo de intervención siguió superando al grupo de control mucho tiempo después de que las clases hubieran terminado. "Se les había dado nuevas formas de pensar y expresarse", dijo Kevan Collins, director ejecutivo de EEF. "Habían estado pensando con más lógica y más ideas conectadas".
Inglaterra no es el primer país en experimentar con la enseñanza de la filosofía infantil. El programa que usó el EEF, llamado P4C (filosofía para niños), fue diseñado por el profesor Matthew Lippman en Nueva Jersey en los años 70 para enseñar habilidades de pensamiento a través del diálogo filosófico. En 1992, la Sociedad para el Avance de la Investigación Filosófica y la Reflexión en la Educación (SAPERE) se estableció en el Reino Unido para emular ese trabajo. P4C ha sido adoptado por escuelas de 60 países.
El programa de SAPERE no se centra en leer los textos de Platón y Kant, sino más bien en historias, poemas o clips de películas que impulsan discusiones sobre temas filosóficos. El objetivo es ayudar a los niños a razonar, formular y hacer preguntas, entablar conversaciones constructivas y desarrollar argumentos.
Collins espera que las últimas pruebas convencerán a los jefes de las escuelas, que tienen mucho más poder en el Reino Unido que en los Estados Unidos, para dejar espacio a la filosofía en sus presupuestos. El programa cuesta a las escuelas £ 16 ($ 23) por estudiante para correr.
Programas como este "te empujan hacia la enseñanza, no hacia abajo, a los niños desfavorecidos", dijo Collins Cuarzo. "No se trata de un currículo reducido y estrecho, sino de un amplio currículo expansionista".
Según el EEF, el 63% de los británicos de 15 años de edad lograr buenos resultados en los exámenes, en comparación con el 37% de los estudiantes desfavorecidos. El grupo espera que mediante el uso de la investigación basada en la evidencia y los ensayos controlados aleatorios, las escuelas adoptarán las políticas más eficaces para hacer frente a la disparidad.
Sócrates dijo que "el verdadero conocimiento existe sabiendo que no sabes nada". Pero para cerrar la brecha en los resultados de la educación, algunos profesores parecen creer que la filosofía tiene un papel importante que desempeñar.

Euler, un enorme matemático que influyó en la economía

El maestro de todos ellos
Una vida impresionante de un hombre impresionante




Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. By Ronald Calinger.Princeton University Press; 669 pages; $55 and £37.95.

Leonhard Euler no es un nombre familiar. Nacido en Suiza en 1707, fue uno de los matemáticos más productivos y influyentes, sin embargo, sorprendentemente poco se ha escrito sobre él. nueva e importante biografía de Ronald Calinger tiene como objetivo establecer este derecho.

Sir Isaac Newton (e independientemente Gottfried Leibniz) habían introducido cálculo o menos una generación anterior. Pero fue Euler cuyo trabajo realmente cálculo establecido como la herramienta básica de las ciencias matemáticas. Euler también lleva adelante otro aspecto del legado de Newton, al mostrar que las teorías de Newton del movimiento y la gravitación dieron predicciones muy precisas de los movimientos de la Luna y otros fenómenos planetarios. Hizo avances a través de una sorprendente variedad de temas, desde la muy pura a la misma aplicada, de una manera que sería imposible hoy. Sus publicaciones cubren la física, la astronomía, la acústica, la balística y artillería, la cartografía, la navegación y la construcción naval, la óptica y la teoría de la música, así como la teoría de números y los fundamentos de cálculo.

regalos de Euler fueron notables. Él tenía una gran energía y una memoria excepcional; era capaz de recitar el texto completo de la "Eneida" de Virgilio de memoria. Su productividad fue igualmente sorprendente. Sobre su carrera, escribió más de 850 publicaciones, incluyendo 18 libros. Sus obras corren a más de 80 grandes volúmenes, y han ido apareciendo de forma constante desde 1910 (unos volúmenes aún no se han publicado).

Euler nació en Basilea, pero su carrera siguió a las grandes potencias reales de Europa. A la edad de 19 años, hizo el viaje de siete semanas a Rusia para ocupar un puesto en la Academia Imperial de San Petersburgo de Ciencias, que el emperador, Pedro el Grande, había establecido como parte de su plan de modernización de Rusia. Euler era muy involucrado en asuntos científicos prácticos, tales como la construcción de mapas precisos del Imperio ruso y estudios de inundaciones, incendios y la construcción naval. Pero también persiguió intereses, incluyendo la teoría de números, series infinitas y la forma de la Tierra. Un avance notable ocurrió en 1735, cuando anunció su solución para el famoso problema de Basilea. Este pidió la suma de la serie infinita 1/4 + 1 + 1/9 + 1/16 + ... y se había resistido a los esfuerzos de los matemáticos durante casi un siglo (la respuesta está pi² / 6).

Mientras que en San Petersburgo, Euler se casó. Él y su esposa tuvieron 13 hijos, aunque sólo cinco hecho más allá de la primera infancia. Euler también comenzó a sufrir de dolores de cabeza, y su vista se deterioró de manera constante. Él perdió la visión de un ojo de unos 30 años, y estaba casi ciego a la edad de 60 años.

En 1741 fue contratado distancia a Berlín. Federico el Grande quiso construir un nuevo Real Academia de Prusia, poblado por las superestrellas de la ciencia y la filosofía. Euler tenía la esperanza de conducirlo, pero no encajar. Su reputación científica era innegable, pero no tenía ni los modales refinados ni el ingenio chispeante que floreció en la corte de Federico. Escrito a Voltaire, Federico jugó tanto en la eminencia de Euler y su incapacidad, llamándolo el "gran Cíclope de la geometría".

Como se deterioraron las relaciones con Frederick, Euler decidió a moverse de nuevo. En 1766 Catalina la Grande (que era una época de Grandes) contrató a Euler de vuelta a San Petersburgo. A pesar de estar casi ciego, se convirtió en una figura central en la academia allí, publicando más de 400 artículos, un importante trabajo de tres volúmenes en movimiento lunar y "Cartas a una princesa alemana", uno de los popularizaciones primeros y más exitosos de la ciencia de una audiencia general.

El libro de Sr. Calinger es una impresionante obra de la biografía científica. Es largo, pero da un retrato fascinante de Euler, su obra y el mundo que le rodea. Para el lector que busca más, una enorme variedad de escritos de Euler se puede encontrar en línea en el Archivo de Euler. Como Pierre-Simon Laplace, otro matemático del siglo 18, según los informes, dijo: "Leer Euler, Euler leer, él es el maestro de todos nosotros."

El matemático que sabía como ganarle a la lotería

El matemático que descubrió el secreto de la lotería
Javier Sanz - Historias de la Historia


Los líos de faldas del francés François-Marie Arouet acabaron con su carrera diplomática y más tarde le costaron el destierro durante dos años en Londres. En 1729 pudo regresar a su París natal donde conocería al hombre que le cambió la vida: el matemático Charles Marie de La Condamine. Este matemático decía haber encontrado el secreto para ingresar en el selecto grupo de los que pueden decir “el dinero no da la felicidad”, frase acuñada por los ricos para que los pobres no les envidien demasiado. El secreto en cuestión era la fórmula para ganar la lotería.


Charles Marie de La Condamine

Igual que ahora los Estados emiten títulos de deuda pública para financiarse, en el siglo XVIII Francia emitió bonos con un interés muy atractivo que rápidamente se convirtieron en un éxito. El problema es que el tipo de interés ofrecido era demasiado elevado, y en 1727 el gobierno se vio obligado a reducirlo para poder seguir manteniendo esta vía de financiación. Sus consecuencias fueron catastróficas: el valor de los bonos de desplomó y al gobierno se le cerró el grifo. Pelletier-Desforts, Contrôleur Général des Finances -ministro de Hacienda- del rey Luis XV, tuvo que tirar de imaginación para paliar aquella sangría en los ingresos: la lotería. Todos los franceses que tuviesen bonos podrían comprar boletos para participar en este sorteo; el boleto ganador recuperaría el valor nominal de sus bonos -su valor estaba muy por debajo del nominal- y obtendría un premio en metálico. Con esta medida se podría recuperar la confianza y el valor de los bonos, aparte de obtener un dinero extra por la compra de los boletos. Por cada bono cuyo valor nominal fuese de 1.000 livres (moneda francesa hasta finales del XVIII) se podría comprar un boleto pagando una livre y participar en la lotería. El problema es que Pelletier-Desforts no debía ser muy bueno en matemáticas porque la suma de los premios era mayor que la cantidad que podría recaudar incluso vendiendo todos los boletos. Así que el matemático Charles Marie de La Condamine y François-Marie Arouet se unieron para hacerse con la mayor cantidad de bonos posibles y, de esta forma, poder comprar tantos boletos que convirtieron un juego de azar casi en una ciencia exacta. Como los bonos tenían un valor real inferior a su valor nominal, no tuvieron problemas en hacerse con casi todos los bonos pagando una cantidad más cercana al valor nominal que al real -supongo que sería por aquello de “más vale pájaro en mano que ciento volando”-. El día 8 de cada mes, día en el que se celebraba el sorteo de la lotería, se convirtió para ellos en día de cobro… hasta que Pelletier-Desforts, harto de que siempre ganasen los mismos, los denunció ante los tribunales por fraude. Fallaron a favor de Charles Marie de La Condamine y François-Marie Arouet, ya que no habían cometido ninguna ilegalidad, se finiquitó la lotería y Pelletier-Desforts se quedó sin trabajo.

Los dos amigos consiguieron hacerse con más de 500.000 livres, una cantidad que les permitió vivir de las rentas durante muchos años. Por cierto, a François-Marie Arouet se le conoce más por su seudónimo… Voltaire.

Complejidad: La economía como una suma de apuestas

En el corazón de la economía, un juego de azar




¿Tiene el billete de lotería el valor de dos dólares? ¿Debo tomar una póliza de seguro adicional? Apuestas simples se extienden a través de todas las ramas principales de la teoría económica. Y, de acuerdo con un nuevo informe de Ole Peters de SFI y Murray Gell-Mann, hemos sido erróneamente conceptualizando ellos por unos 350 años.
El documento, que aparece en la revista Chaos, presenta dos enfoques para la evaluación de los valores de apuestas-expectativa y promedios de tiempo. El enfoque de la expectativa-valor imagina todas las posibilidades y las medias a través de ellos de una manera lineal aditivo. En palabras del matemático del siglo 17 Christiaan Huygens ,: "si alguien debe poner 3 chelines en una mano sin decirme cuál, y 7 en el otro, y me des la elección de cualquiera de ellos; Digo, es lo mismo que si me debería dar 5 chelines. "La perspectiva temporal de la media se imagina que un juego de azar se reproduce varias veces y calcula qué pasa con el tiempo. A menos que la repetición es aditivo, las dos perspectivas dan diferentes respuestas.
"El primer punto de vista, teniendo en cuenta todos los mundos paralelos, es la adoptada por la economía convencional", explica Gell-Mann. "La segunda perspectiva a lo que ocurre en nuestro mundo a través del tiempo, es el que se explora y que no se ha apreciado en la economía hasta el momento."
En vez de mirar cómo los individuos optimizar la riqueza a través de mundos paralelos, la perspectiva basada en el tiempo considera cómo optimizar la riqueza a medida que pasa el tiempo. "Lo que sucede cuando cambiamos perspectivas es sorprendente. Muchos de los problemas clave de la teoría económica abiertos tienen una solución elegante dentro de nuestro marco," dice Peters.
El documento Chaos ilustra los diferentes enfoques a través de un juego de azar. Tirar una moneda; Si sale cara muestra su riqueza se multiplica por 1,5, si sale cruz muestra se multiplica por 0,6. Sigue repitiendo el juego de azar. Mientras que el valor esperado (el promedio de todos los mundos posibles) crece exponencialmente, su riqueza en cualquier realidad se atenúan exponencialmente con el tiempo.
Debido a que la evaluación de apuestas simples está en el centro del campo, la perspectiva temporal puede informar a todas las ramas de la economía. "Resulta que la diferencia entre cómo se comporta la riqueza individuo a través de mundos paralelos y cómo se comporta el paso del tiempo cuantifica cómo cambia la desigualdad de la riqueza", dice Peters. "También permite refinar la noción de mercados eficientes y resolver el rompecabezas de la prima de riesgo."

Segunda nota

Como consecuencia de la crisis financiera, muchos empezaron a cuestionar los diferentes aspectos del formalismo económica.

Esto incluyó Ole Peters, miembro del Laboratorio de Matemática de Londres en el Reino Unido, así como profesor visitante del Instituto de Santa Fe en Nuevo México, y Murray Gell-Mann, un físico que fue galardonado con el Premio Nobel 1969 de Física por su contribuciones a la teoría de las partículas elementales de la introducción de los quarks, y ahora es un miembro distinguido en el Instituto de Santa Fe. Encontraron que sea especialmente curioso que un campo tan importante para nuestra forma de vivir juntos como una sociedad parece tan seguro de que muchos de sus preguntas claves.

Así que le preguntaron: ¿Podría haber una dificultad fundamental que subyace a nuestra teoría económica actual? ¿Hay alguna supuesto oculto, posiblemente cientos de años de antigüedad, por detrás de no uno, sino muchos de los problemas científicos actuales de la teoría económica? Tal problema fundamental podría tener graves consecuencias prácticas porque la teoría económica informa a la política económica.

Tal y como informan en la revista Caos, desde AIP Publishing, la historia que surgió es un ejemplo fascinante de la historia científica, de cómo evoluciona la comprensión humana, se queda atascado, consigue despegarse, ramas, y así sucesivamente.

"Nos encontramos, por ejemplo, que Daniel Bernoulli cometió un error poco visible, pero consecuente en 1738 que fue corregido por Laplace en 1814, pero de nuevo por Menger en 1934", dijo Peters. "Este es uno de los factores que frenaba el desarrollo de nuestra perspectiva."

Los conceptos clave de tiempo y el azar son el centro de su trabajo. "Las cuestiones de carácter económico se situó en el comienzo del pensamiento formal sobre la aleatoriedad en el siglo 17", explicó. "Todos estos son conceptos relativamente jóvenes, no hay nada en Euclides acerca de la teoría de probabilidades." Pienso en ello simplemente en términos de: ¿Debo apostar dinero en un juego de dados? ¿Cuánto debo pagar por un contrato de seguro? ¿Cuál sería un precio justo por una renta vitalicia?

"Todas estas preguntas tienen que ver con el azar, y la manera de tratar con ellos en el siglo 17 era de imaginar mundos paralelos que representan todo lo que podría suceder", dijo Gell-Mann. "Para evaluar el valor de algunas de riesgo incierto, una media se toma entre los mundos paralelos."

Este concepto sólo se ha cuestionado en la mitad del siglo 19, cuando se utilizó la aleatoriedad formalmente en un contexto diferente en la física. "Aquí, la perspectiva surgió siguiente: para evaluar algunos de riesgo incierto, preguntarse cómo le afectará en un mundo sólo-es decir, aquella en la que vive, a través del tiempo", continuó Gell-Mann.

"El primer punto de vista, teniendo en cuenta todos los mundos paralelos, es la adoptada por la economía convencional", explicó Gell-Mann. "La segunda perspectiva a lo que ocurre en nuestro mundo a través del tiempo, es el que se explora y que no se ha apreciado en la economía hasta el momento."

El impacto real de esta segunda perspectiva proviene de reconocer la omisión del concepto clave de tiempo de los tratamientos anteriores. "Tenemos unos 350 años de teoría económica que es la aleatoriedad de un modo sólo-por considerar mundos paralelos", dijo Peters. "Lo que sucede cuando cambiamos perspectivas es sorprendente. Muchos de los problemas clave de la teoría económica abiertos tienen una solución elegante dentro de nuestro marco."

En cuanto a las aplicaciones para su trabajo, su concepto clave se puede utilizar "para derivar todo un formalismo económica", dijo Peters. En su artículo, Peters y Gell-Mann explorar la evaluación de un juego de azar. Por ejemplo, esta apuesta es mejor que la apuesta? Este es el problema fundamental de la economía. Y a partir de una solución conceptualmente diferente viene un nuevo formalismo completa.

Ellos pusieron a prueba después de su amigo Ken Flecha-un economista que fue el ganador conjunto del Premio Memorial Nobel de Economía con John Hicks en 1972, sugirió la aplicación de la técnica de los contratos de seguro. "Predice nuestra perspectiva o explicar la existencia de un mercado de seguros grande? Lo hace, a diferencia de la teoría del equilibrio general competitivo, que es el formalismo dominante en la actualidad", dijo Peters.

Y así un significado diferente del riesgo surge toma demasiado riesgo no sólo es psicológicamente incómodo, pero también conduce a pérdidas de bienes en dólares. "Una buena gestión del riesgo que realmente impulsa el rendimiento con el tiempo", agregó Peters. "Esto es importante en el replanteamiento actual de los controles de riesgo y la infraestructura del mercado financiero".

Este concepto va mucho más allá de este reino y en todas las principales ramas de la economía. "Resulta que la diferencia entre cómo se comporta la riqueza individuo a través de mundos paralelos y cómo se comporta el paso del tiempo cuantifica cómo los cambios desigualdad de la riqueza", explicó Peters. "También permite refinar la noción de mercados eficientes y resolver el rompecabezas de la prima de riesgo."

Una de las aplicaciones de importancia histórica es la solución de los 303 años de edad paradoja de San Petersburgo, que consiste en un juego de azar jugado por lanzar una moneda hasta que sale cruz y el número total de lanzamientos, n, determina el premio, lo que equivale a $ 2 a la enésima potencia. "El premio esperado diverge-no existe", explicó Peters. "Esta apuesta, sugerido por Nicholas Bernoulli, se puede ver como la primera rebelión contra la dominación del valor que la expectativa promedio a través de mundos paralelos que se estableció en la segunda mitad del siglo 17".

¿Cuál es el siguiente paso para su trabajo? "Estamos muy interesados ​​en desarrollar plenamente las implicaciones para la economía del bienestar y las cuestiones de la desigualdad económica. Este es un tema sensible que necesita ser tratado con cuidado, incluyendo el trabajo empírico", señaló Peters. "Se está haciendo mucho detrás de las escenas-ya que esta es una forma conceptualmente diferente de hacer las cosas, la comunicación es un reto, y nuestro trabajo ha sido difícil publicar en las principales revistas de economía."

Sus resultados descritos en el caos se generalizan fácilmente, lo que es necesario reinterpretar el formalismo completo. Pero "no se puede añadir mucho en términos prácticos, y se pone un poco técnico". Así que es un futuro "elemento de tarea" para Peters y Gell-Mann.

"Nuestro papel caos es una receta para acercarse a una amplia gama de problemas," dijo Peters. "Así que ahora vamos a través de todo el formalismo con nuestros colaboradores para ver dónde más nuestra perspectiva es útil."...

Lea el artículo on Phys.org (February 2, 2016)

Read the paper in the journal Chaos (February 2, 2016)

Siguen los problemas con la matemática en la Economía

Economía tiene un problema de matemáticas
Por Noah Smith - Bloomberg View




Muchas personas se quejan de la matemáticas en economía. Los economistas tienden a descartar en silencio quejas tales como los ácidos-uvas protestas de tipos literarios que no tienen el talento o la formación para abrirse paso a través de sistemas de ecuaciones. Pero no es sólo el matemáticamente analfabeto que Ortega. El economista de la Universidad de Nueva York Paul Romer - apenas un peso ligero cuando se trata de ecuaciones - recientemente se quejó de cómo los economistas usan las matemáticas como una herramienta de la retórica en lugar de una herramienta para entender el mundo.

Personalmente, creo que lo que es raro en econ no es que utiliza un montón de matemáticas - es la forma en que utiliza las matemáticas. En las disciplinas de matemáticas más aplicadas - biología computacional, dinámica de fluidos, finanzas cuantitativas - teorías matemáticas siempre están vinculados a la evidencia. Si una teoría no ha sido probada, es entendido como pura conjetura.

No es así en econ. Tradicionalmente, los economistas han puesto los hechos en un papel subordinado y la teoría en el asiento del conductor. Teorías plausibles-sonido se cree que son verdad salvo prueba falsa, mientras que los hechos empíricos a menudo son despedidos si no tienen sentido en el contexto de las teorías principales. Este no es un problema con las matemáticas - era tan cierto atrás cuando la economía teorías fueron escritos en volúmenes literarios largos. Econ desarrollado como una forma de filosofía y luego añadió matemáticas más tarde, convirtiéndose básicamente una forma de filosofía matemática.

En otras palabras, econ ahora es una rama de las matemáticas aplicadas pícaro. Desarrollado sin acceso a buenos datos, se desarrolló diferentes valores y convenciones científicas. Pero esto está cambiando rápidamente, como la tecnología de la información y la revolución informática han amueblado economistas con montañas de datos. Como resultado, el análisis empírico está llegando a dominar econ.

Una muestra de ello es la repentina explosión de interés en el aprendizaje de la máquina en el campo de la economía. El aprendizaje automático es un término amplio para una colección de técnicas estadísticas de análisis de datos que identifican las características clave de los datos sin comprometerse a una teoría. Para utilizar un viejo adagio, aprendizaje automático "permite que los datos hablan." En la era de los grandes datos, aprendizaje automático es un campo caliente en el negocio de la tecnología, y es una herramienta clave de la creciente campo de la ciencia de datos. Ahora, econ está alcanzando el error.

Dos economistas que han estado presionando para la adopción de técnicas de aprendizaje automático en economía son Susan Athey y Guido Imbens de la Universidad de Stanford. Los dos economistas explican técnicas de aprendizaje automático a un público interesado en una reciente reunión de la Oficina Nacional de Investigación Económica. Su visión general declaró que las técnicas de aprendizaje automático enfatizaron la causalidad menos de técnicas estadísticas económicas tradicionales, o lo que generalmente se conoce como la econometría. En otras palabras, el aprendizaje automático es más sobre la previsión de alrededor de la comprensión de los efectos de la política.

Eso haría que las técnicas menos interesante para muchos economistas, que suelen ser más preocupado por dar recomendaciones de política que en hacer pronósticos. Pero Athey y Imbens también han estudiado cómo las técnicas de aprendizaje automático se pueden utilizar para aislar los efectos causales, lo que permitiría a los economistas a dibujar implicaciones políticas.

Básicamente, Athey y Imbens miran el problema de cómo identificar los efectos del tratamiento. Un efecto del tratamiento es la diferencia entre lo que sucedería si se va a administrar un poco de "tratamiento" - por ejemplo, el aumento del salario mínimo - y lo que ocurriría sin el tratamiento. Esto puede ser muy complicado, porque hay un montón de otros factores que afectan el resultado, además de sólo el tratamiento. También se complica por el hecho de que el tratamiento puede funcionar de forma diferente en diferentes personas en diferentes momentos y lugares. Un último problema es que los economistas de datos tienen que responder a la pregunta que se suele ser muy limitado - un gran impedimento para la econometría tradicionales, que generalmente asume que la cantidad de datos es cómoda y amplia. Athey y Imbens ocupan de estas cuestiones mediante la importación de un método de la ciencia de datos, llamado árbol de regresión. Estadísticamente lectores alfabetizados pueden leer sus diapositivas aquí.

Otro economista que ha estudiado el potencial de aprendizaje de máquina es Hal Varian, un ex profesor de gran éxito, que ahora sirve como el economista jefe de Google. En un documento de 2013, Varian dio a conocer un documento que analiza cómo las nuevas técnicas de aprendizaje automático desarrollado por los científicos de datos pueden ayudar a los economistas a mejorar su comprensión de la realidad. Por ejemplo, se discute cómo el aprendizaje máquina puede ayudar a elegir entre los diferentes modelos (algo que los economistas a menudo ignoran), frente a la incertidumbre sobre qué modelo es el correcto y evitar sobreajuste (explicaciones excesivamente complejas que no pueden predecir nada). En un conjunto de diapositivas publicadas a principios de 2014, Varian atado técnicas de aprendizaje automático a la reciente subida de los métodos cuasi-experimentales en economía. Esto representa una fusión entre la econometría tradicionales y las nuevas técnicas de la ciencia de datos.

Varian, Athey y Imbens no son los únicos ejemplos de este mini-tendencia. El bloglero de ciencia de Datos Kenneth Sanford tiene algunos más.

Así está la economía va a convertirse en otra rama de la matemática aplicada? Fusionará la econometría y los datos de la ciencia? Berkeley economista Brad DeLong cree que sí. "El trabajo [de la economía] se hará", escribe, "por los científicos de datos, los modeladores de computadora, y los historiadores de diversas rayas." Eso es casi seguro demasiado extremo una predicción. Pero el interés en el aprendizaje de la máquina es sólo una señal más de que la economía puede estar empezando a arrojar su peculiar fijación en la teoría y unirse a sus primos en el futuro por datos.

Matemáticas y macroeconomía: Falta de una formalización hacia lo real

¿Cómo la 'Matematicidad' me hizo hastiarme de la Economía?

Por Noah Smith - Bloomberg View
El celebrado economista de crecimiento Paul Romer - cuyo nombre está en la lista reducida regularmente para el Premio Nobel - recientemente causó un gran revuelo con un trabajo en los American Economic Review Papers and Proceedings llamado "La Matematicidad en la Teoría del Crecimiento Económico". El documento es una maravilla de frustración contra las personas que Romer piensa que la teoría matemática ha abusado al no establecer un vínculo estrecho entre elementos matemáticos y del mundo real. El más destacado entre los objetivos de Romer son los macroeconomistas ganadores del Nobel Robert Lucas y Edward Prescott.

Para mí, el ensayo de Romer demuestra dos cosas. La primera, y más entretenida, es que muchos economistas de alto nivel se han molestado por Lucas y Prescott. El segundo, y más importante, es que hay una crisis tranquila en la teoría macroeconómica como un todo.

En primer lugar, la pelea. Lucas, Prescott y su gran grupo de seguidores (conocido como la tribu del "agua dulce" porque los lugares que trabajan tienden a estar lejos de las costas) han presionado sin descanso para las teorías en las que no hay necesidad de la intervención del gobierno en la economía. Fueron conocidos por agresivo - aunque en última instancia fallidos - nuevos ataques a la macroeconomía keynesiana. Su menosprecio de las ideas keynesianas les ha ganado en varias ocasiones la ira de Paul Krugman y Brad DeLong, pero dentro de la profesión de su influencia fue tal que las críticas fueron por lo general se susurraron a puerta cerrada.

No más. Romer no es la primera empollón de la matemáticas de modales suaves a salir escupe fuego contra la gente de agua dulce en los últimos meses. En diciembre, Roger Farmer en UCLA denunció la gente de agua dulce y el paradigma de que habían forzado a la teoría del ciclo económico.

Así que los enemigos de la tribu de agua dulce están finalmente hablando. ¡Me pregunto quién será el próximo!

La erupción de la matematicidad de Romer - que tiene una deuda con la "verdicidad" del comediante Stephen Colbert - va mucho más profundo que la pelea con la gente de agua dulce. Realmente, es sobre el papel de las matemáticas en la teoría económica.

La Economía tiene un montón de matemáticas. En ningún otro tema, excepto las matemáticas sí habrá que ver tantas pruebas y teoremas. Algunas ramas del economía, como la teoría de juegos, legítimamente podrían estar alojadas en los departamentos de matemáticas de la universidad. Pero incluso en campos como la macroeconomía, que ostensiblemente se ocupan de fenómenos del mundo real, las matemáticas son el centro de todo lo que los economistas hacen.

Pero la forma en matemáticas se utiliza en la macroeconomía no es el mismo que en las ciencias duras. Esto no es algo que la mayoría de los no economistas dan cuenta, así que creo que mejor que me explique.

En la física, si se escribe una ecuación, se espera que las variables que corresponden a las cosas reales que se pueden medir y predecir. Por ejemplo, si usted escribe una ecuación para la trayectoria de una bala de cañón, que se puede esperar que la ecuación le haga saber cómo apuntar su cañón para golpear realmente algo. Esta estrecha correspondencia entre las matemáticas y la realidad es lo que nos permitió aterrizar la nave espacial en la Luna. También permitió a los ingenieros construir su equipo, el coche y la mayoría de las cosas que usted usa.

Algunos en economía son de la misma manera, sobre todo en la microeconomía, o el estudio de las acciones de los individuos - se puede predecir qué tipo de subasta se ha podido ir a los precios más altos, o cuántas personas va a montar en un tren. Pero la macroeconomía, que se ve en la economía en general, es diferente. La mayoría de las ecuaciones de los modelos no son apoyados por pruebas. Por ejemplo, algo que se llama la ecuación de consumo de Euler está en la base de casi todos los modelos macroeconómica modernos. En él se especifica una relación entre el crecimiento del consumo y de las tasas de interés. Pero cuando los investigadores analizaron los datos reales sobre el crecimiento del consumo y las tasas de interés, se encontraron con que la ecuación da exactamente las predicciones equivocadas! Sin embargo, continúa siendo utilizado como el núcleo de casi todos los modelos macro.

Si usted lee la literatura macro, verá que casi todos los journales famosos y respetados están llenos de este tipo de ecuaciones que no coinciden con la realidad. En este trabajo se predice que todo el mundo tendrá la misma cantidad de dinero en efectivo. En este trabajo se predice que la gente compra los activos financieros que sólo pagan apagado si las personas son capaces de cambiar el salario que piden recibir. Estos y muchos otros enunciados matemáticos no se corresponden de forma remota a la realidad observable, ni tienen ninguna prueba en apoyo de ellos. Sin embargo, ellos se lanzan en grandes modelos de múltiples ecuaciones, y esos modelos son luego juzgados sólo en lo bien que encajan los datos agregados (que por lo general no está muy bien).

Ese enfoque conjunto nunca volaría en ingeniería. La ingeniería es algo que un espera que funcione. Pero macroeconomistas a menudo tratan a sus modelos como simples formas, en palabras de David Andolfatto, vicepresidente del Banco de la Reserva Federal de St. Louis, "de organizar nuestro pensamiento" sobre el mundo. En otras palabras, los macroeconomistas usan las matemáticas para hacer sus pensamientos concretos, para persuadir a los demás, y para comprobar la consistencia interna de sus ideas (a veces absurdas), pero no para predecir realmente las cosas en el mundo real.

Volviendo a la queja de Romer. Él señala a Lucas, Prescott y algunos otros de tener vínculos tenues o descuidados entre elementos matemáticos y del mundo real. Pero por lo que puedo ver, esos vínculos tenues y descuidados son la regla en los campos de macro. Romer dice que está "hastiado" por decir eso, y que se trataba de manzanas podridas como Lucas y Prescott que agriaron la teoría macroeconómica. Bueno, tiene razón que estoy hastiado, y tiene razón de que estaba aprendiendo acerca de los modelos de Prescott que me convertí hastiado. Romer, tenés razón.

Pero cuando miré más allá de esos modelos, a los modelos más antiguos o más nuevos, encontré lo que parecía ser sólo una diferencia de grado, no en especie. La teoría macroeconómica está lleno de matematicidad. No es sólo Lucas y Prescott, es toda la cultura científica del campo.

Romer dice que en el nuevo, la cultura degradada de la macroeconomía, "trabajo empírico es la ciencia; la teoría es entretenimiento." Tal vez eso está cerca de la manera racional de pensar en las cosas. Ahora que tecnología de la información está proporcionando a la economía con una avalancha de nuevos datos, el porcentaje de trabajos de teoría en las mejores revistas está cayendo. Tal vez los economistas están empezando a ver la matematicidad como lo que es, y descontarlas en consecuencia.

Muere Nash y perdemos todos

Nash muere, todos perdemos: ¿Qué es la Teoría de juegos?

Una explicación sencilla de la idea que hizo famoso al Nobel de Economía


JOSÉ ÁNGEL MURCIA El País


Es una pena que a Nash se le esté recordando como el “protagonista” de una película y no como el genio detrás del desarrollo de la Teoría de juegos. A John Forbes Nash le gustaban los juegos, de hecho se le tiene como uno de los dos inventores independientes del juego de mesa que hoy se llama Hex, pero que en Princeton era conocido como “Nash”. Nash buscaba el juego perfecto para los matemáticos. Pero no, cuando los matemáticos hablamos de Teoría de juegos no nos referimos al Hex, ni al Candy Crush, ni a la brisca, estamos hablando fundamentalmente del estudio de las decisiones de los individuos, no de pasarnos vidas.

En Teoría de juegos se analizan situaciones complejas en las que hay más de un individuo que quiere tener éxito pero que tiene que tener en cuenta las decisiones del resto de los intervinientes. Esto es, no vale con preguntarte qué es lo que tienes que hacer tú, sino que tienes que preguntarte qué es lo que tienes que hacer tú teniendo en cuenta lo que piensas que van a hacer los demás. Veamos un ejemplo: te han detenido junto a un compinche, habéis hecho cosas terribles que no voy a contar aquí, pero la policía no tiene pruebas y solo os acusan de algo menor (sí, voy a contar el dilema del prisionero, los que lo conozcan pueden saltarse este párrafo). Pongamos que si no os delatáis el uno al otro vais a pasar tres años de chabolo. Si los dos cantáis (y os delatáis el uno al otro) os caerán 5 años a cada uno. Si canta uno solo, le caerán 12 años al otro y uno al cantor por “colaborar”... Os colocan en habitaciones separadas, claro, esto se pone interesante. Eres una persona inteligente, tu compañero es como tú -no te asocias con cualquiera- ¿qué crees que pasará?

		Tú
		No delatar	Delatar
Tu compinche	No delatar	3 años para cada uno	12 para él, uno para ti
	Delatar	12 para ti y uno para él	5 para cada uno

Llegados a este punto surgen las preguntas, ¿eres egoísta? ¿lo es tu compañero? Para poder proseguir tenemos que suponer algo al respecto, pongamos que los dos lo sois, sois completamente egoístas. Lo mejor sería que no os delataseis ¿no? Pues no, ¿no hemos dicho que sois los dos egoístas? Lo mejor para ti es que el otro no te delate y tú sí a él. Tu sabes que él piensa lo mismo, no querrás ser tú el que se pase 12 años a la sombra mientras él sale en un año ¿no?

La teoría existente antes de las aportaciones de Nash nos haría esperar el Óptimo de Pareto, esto es, ambos os calláis. Las teorías de Pareto nos llevarían a pensar que la mejor solución es que los dos cooperéis. Lo que aportó la “mente maravillosa” de Nash es que tú -conociendo al igual que tu tu socio las ideas de Nash- pienses “si creo que mi compinche no me va a delatar, lo mejor es delatarle, y si creo que me va a delatar, también es mejor para mi delatarle”. Lo que desde entonces se llama alcanzar un equilibrio de Nash: hay una estrategia dominante, debemos esperar que los dos cantéis, que los dos os delatéis, porque es lo único que podéis hacer que garantiza que estáis mejorando vuestras opciones.

Este dilema del prisionero es un ejemplo de juego en el que ambos jugadores pierden, esto es uno de los juegos de suma no nula. Otros matemáticos, como John Von Neumann (sí, el del proyecto Manhattan), ya habían estudiado el equilibrio en los juegos de suma cero (en el que los otros jugadores ganan lo que un jugador pierde). Pero Nash en su tesis doctoral de 1951 describió las situaciones en juegos en los que todos pueden perder. ¿Por qué es tan importante el equilibrio de Nash? Pues porque esta situación en la que hay mutua desconfianza es una situación muy corriente en economía, por eso se firman contratos que comprometen a las partes que suelen ser -como tú y tu compinche- bastante egoístas. Las implicaciones que tuvo el trabajo de Nash le valieron el premio Nobel de Economía en 1994. Sí, de Economía, porque de matemáticas no hay, seguramente porque al inventor de la dinamita no le gustaban las matemáticas.

La teoría de juegos proporciona modelos para entender este tipo de situaciones que se presentan -además de en famosos dilemas- en gestión, economía, psicología… o en partidas de póker, y que involucran por tanto las decisiones de todos los agentes y no solo las de uno. Para poder explicar estas situaciones se utilizan matrices o árboles de decisión.

Pero hoy no es un día de suma cero, hoy todos perdemos.

Aprender matemática dejando de enseñarlas

¿Queremos que los niños aprendan matemáticas? Dejemos de enseñarla

Por Susan Engel - Bloomberg View



Los EE.UU. tiene un problema de matemáticas. A pesar de todo el tiempo, energía y dinero que el país ha puesto en la búsqueda de mejores formas de enseñar el tema, los niños estadounidenses siguen marcando mal y llegar a la universidad muy mal preparados. Así como malo, si no peor, muchos estudiantes piensan que odian las matemáticas.

Propongo una solución: Dejar de requerir a todos a tomar clases de matemáticas en la escuela.

La gente se caracterizan por ofrecer una combinación de cuatro razones niños deben aprender matemáticas: para las funciones cotidianas como hacer los impuestos, la compra de alimentos y la lectura de las noticias; para conseguir un trabajo en un mercado cada vez más tecnológicamente avanzado; como una poderosa manera de pensar y entender el mundo; para hacer frente a la escuela secundaria o entrar en una buena universidad.

Vamos a considerar estos uno por uno. Hasta cierto punto, los niños aprenden naturalmente aritmética básica sólo por pasar tiempo con personas que lo utilizan, y mediante la realización de tareas como poner la mesa, ir a la tienda o al compartir juguetes con los amigos. La investigación muestra que incluso los niños analfabetos pueden calcular sumas bastante rapidez y precisión en ambientes familiares (como la venta de productos en la calle). Los bebés nacen con un conocimiento intuitivo de los números. No tardaría mucho para que las escuelas enseñan a todos los niños a sumar, restar, multiplicar y dividir.

Los interesados ​​en campos altamente cuantitativos, como la tecnología, las finanzas o la investigación es probable que tengan una inclinación natural para las matemáticas. Pueden obtener el conocimiento que necesitan más tarde, de una manera mucho más efectiva y profunda, en la universidad o fuera de ella. Las personas que inventan nuevas industrias rara vez se utilizan las matemáticas que han aprendido en la escuela, y con frecuencia no están utilizando ninguna en absoluto. ¿Por qué arrastrar a todos los estudiantes de la escuela primaria a través de un plan de estudios obligatorio que se apaga hasta que se prepara, en la remota posibilidad de que algunos se podrían necesitar?

Es cierto que el aprendizaje de matemáticas puede darnos fuerzas intelectuales diferentes de los que obtenemos la lectura de novelas, el estudio de la historia o hurgando en una placa de Petri. Sin embargo, este tipo de pensamiento no están necesariamente vinculadas a números, ciertamente no en el nivel principiante. Matemáticas avanzadas requiere que los estudiantes para razonar lógicamente, ser paciente, metódico y juguetón en probar soluciones a un problema, imaginar varias rutas para el mismo fin, tolerar la incertidumbre y la búsqueda de la elegancia. Ellos necesitan saber cuándo confiar en sus intuiciones cuantitativos y cuándo participar en el pensamiento contradictorio.

Sin embargo, estas habilidades suelen ser excluidas por el plan de estudios K-12 típico - una increíble variedad de habilidades y procedimientos aislados, que muchos profesores de la universidad dicen que pasan demasiado tiempo para llegar a los estudiantes a "desaprender". La investigación ha demostrado que muchos estudiantes que hacen perfectamente bien en las pruebas de matemáticas a menudo no pueden aplicar una sola cosa que han aprendido en cualquier otro entorno. Terminamos perdiendo la oportunidad de enseñarles lo que realmente se necesita para pasar a las matemáticas de nivel superior o de pensar bien.

En lugar de un buen puntaje en el álgebra, los niños necesitan tres cosas:

1 Tiempo. En su mayor parte, los niños piensan concretamente cuando son jóvenes, y se vuelven más capaces del pensamiento abstracto más tarde. Una enorme industria ha crecido en torno a la idea de que podemos jugar con el sistema humano y enseñar a los niños a pensar de manera abstracta antes de estar listos. Estas estrategias no han tenido mucho éxito, y que se oponen a las actividades que podrían ser mucho más útil y atractivo para las mentes jóvenes.

2. Lectura. La investigación ha demostrado que la alfabetización es crucial para el pensamiento abstracto. Los niños que leen vuelven capaces de tipos específicos de pensamiento conceptual y lógico no disponible para otros. Esto abre la puerta a pensar en cosas que no son parte de la experiencia tangible inmediato de uno, un aspecto crucial de las matemáticas superiores.

3. Los desafíos intelectuales. Los niños que están inmersos en el razonamiento cuantitativo informal llegan a tareas matemáticas más formales, a una edad más tarde, con mucha mayor facilidad. Del mismo modo, los niños que se les pide para dar razones de su pensamiento, o especular sobre el pasado y el futuro, están bien posicionados para aprender diferentes tipos de lógica y argumentación.

Así que este es el plan. Enseñe a los niños aritmética, una tarea que, probablemente tomar 20 minutos al día hasta el final del tercer grado. Pasa el tiempo extra en la lectura, y en los tipos de juego que involucran el pensamiento abstracto y la resolución de problemas. Para los niños pequeños, esto podría incluir bloques de construcción, dominó y jugar a la tienda. Para los niños mayores - ajedrez "Minecraft", la criptografía y los rompecabezas mentales que se pueden encontrar en algunos libros de matemáticas en circulación, así como en la sección desafío para la mente de muchos supermercados. Pida a los estudiantes a encontrar razones y pruebas para lo que dicen, y participar en serios argumentos sostenidos entre sí.

Por cerca de noveno grado, los elaborados con las matemáticas podría tomar interesantes, clases rigurosas. Otros podrían estudiar asignaturas más se adapte a sus intereses y puntos fuertes. Los profesores que aman matemáticas podrían ofrecer actividades como una manera de enseñar el buen pensamiento, más que como una forma obligatoria de preparación para las clases de matemáticas futuras. Los que son expertos en alguna otra forma de enseñar el buen pensamiento sería libre de hacerlo.

Los maestros y estudiantes por igual ya no estarían encerrados en un currículo obligatorio que es demasiado para algunos, demasiado poco para los demás, y lleva muy pocos niños a la verdadera capacidad matemática. Queremos renunciar a poco de pena, y hacer más espacio para el aprendizaje verdaderamente valioso. Eso me parece una buena solución para mí.

Nash gana el Nobel y el Abel

El inspirador de ‘Una mente maravillosa’ gana un ‘Nobel’ de matemáticas
John Nash y Louis Nirenberg reciben el Premio Abel de matemáticas por su su trabajo en ecuaciones diferenciales parciales, una herramienta empleada en muchas ciencias
El niño prodigio de las matemáticas cumple 65 años y no se jubila
DANIEL MEDIAVILLA -  El País



El matemático estadounidense John Nash / EFE

El matemático estadounidense John Nash, de 86 años, al que dio vida Russell Crowe en la película Una mente maravillosa, ha ganado el Premio Abel, junto a la Medalla Fields, el más prestigioso en el campo de las matemáticas. El investigador de la Universidad de Princeton compartirá los 800.000 dólares de premio que ofrece la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras con su colega Louis Nirenberg, de 90 años, profesor emérito en la Universidad de Nueva York. Ambos han sido reconocidos por su trabajo en ecuaciones diferenciales parciales, una herramienta empleada para describir todo tipo de fenómenos científicos, desde los campos de la termodinámica a la física cuántica.

Según explica el comité del Premio Abel en un comunicado, los trabajos de Nash en este campo son considerados por los expertos más profundos y de mayor alcance que sus descubrimientos sobre teoría de juegos y las matemáticas detrás de la toma de decisiones por el que recibió el Nobel de Economía en 1994.

El nombre de Nash, que solía trabajar en solitario, está vinculado a un gran número de trabajos influyentes en el campo de las matemáticas, desde el teorema de función inversa Nash-Moser, o el teorema Nash-De Giorgi, surgido de un problema que Nash trató de resolver por sugerencia de Niremberg.


El matemático de origen canadiense Louis Nirenberg / EFE

Nirenberg, nacido en Canadá, ha gozado de una larga carrera, produciendo resultados importantes hasta después de cumplir los 70. A diferencia de Nash, Nirenberg prefería el trabajo en equipo y solía hablar de las matemáticas como una gran familia. En una entrevista de 2002, aseguraba que cuando habla con personas sin ningún contacto con las matemáticas trataba de comunicarles “lo divertidas que son”.

Estudiantes de Sheffield se quejan por un examen de economía "injusto"

Furia de estudiante durante un examen de economía "imposible"
Por Judith Burns
Reportero de Educación, BBC News


Universidad de Sheffield

Los estudiantes han pedido a la Universidad de Sheffield para investigar el texto de un examen

Estudiantes de economía de los años finales en la Universidad de Sheffield están furiosos después de un examen de esta semana contenía preguntas que encontraron "imposibles".

El documento, en la materia "Economía de las ciudades", contenía preguntas obligatorias sobre temas que nunca habían sido enseñados, dicen los estudiantes.

Más del 90% de los que tomaron el examen ahora han firmado una petición en línea pidiendo la universidad investigar.

La universidad dijo que todas las preguntas se basaron en los temas que se enseñan en el curso.

Pero, en un tweet, un candidato se quejó: "Tercera pregunta bien podría haber estado en escrito en chino."

Otro preguntó: "¿Cómo pueden escribir un artículo e incluir preguntas sobre algo que no hemos sido enseñados, o dicho a la investigación"

Poco más de 100 estudiantes tomaron el examen el miércoles.

Temores de Grado

Casi todas ellas han firmado la petición.

Temen obtener malas calificaciones en este examen dañará sus resultados finales de grado.

Un estudiante le dijo a la BBC que estaba particularmente enojado por la primera pregunta que contenía las matemáticas para que, dijo, que no habían sido preparados.

"Nos habían dicho que no era un examen basado en matemáticas.

"Nos sentimos engañados y enojados.

"Cada parte de la pregunta era, 'Calcular esto, diferenciar parcialmente aquello'".

Las preguntas del examen

Los estudiantes dicen que esta pregunta fue particularmente confusA pero la universidad dice que el concepto está "definido con precisión"

Además de eso, en la segunda parte del documento, los estudiantes tenían que elegir contestar dos de cada tres preguntas - pero reclaman que una de ellas fue sobre un tema que no había sido incluido en conferencias, listas de lecturas o trabajos de revisión.

"Era totalmente ajena a nosotros. Nunca habíamos visto antes y nunca había visto a los términos que usó", dijo uno.

Otro dijo que era "completamente injusto ... imposible de hacer".

Esto significaba no había otra opción, los estudiantes tenían que responder a las otras dos preguntas. Incluso esto no fue sencillo dado que una de las preguntas restantes a los candidatos se les pidió comparar dos estudios económicos, uno de los cuales no habían formado parte de su curso.

En Twitter, los estudiantes llamaron una "absoluta vergüenza", "un examen del infierno", "falta de ética", "mal fijado y horrible allá de las palabras después de noches de insomnio".

Ajustes 'considerados'

Además de los estudiantes que toman una licenciatura en economía, para el examen se sentaron junto a estudiantes que toman un título de Licenciado conjuntas con otros temas, como la política.

Los estudiantes de honores conjuntos estaban especialmente afectados como muchos carecían de la formación matemática de los estudiantes de licenciatura.

La universidad dijo que una revisión interna estaba en marcha y los resultados se realimenta a los estudiantes.

El jefe del departamento de economía, el profesor Andy Dickerson, dijo que no todas las preguntas se basaron matemáticamente.

"Los que tenían contenido matemático se fijaron en un nivel consistente con las matemáticas que se enseñan a todos los estudiantes de economía, incluidos los de doble titulación.

"Todas las preguntas se basaron en los temas que se enseñan en el curso y para los que se proporcionó la lectura adicional. Una pregunta que utiliza un término que puede que no hayan encontrado previamente, pero para evitar cualquier malentendido, el término se definió precisamente en la cuestión en términos de conceptos utilizado en el módulo ".

El departamento también dijo que el examen sería el segundo marcado internamente y moderada por examinadores externos.

"Todas las marcas de módulos se compararon a través de módulos en cada nivel para asegurar la comparabilidad.

"Si hay grandes discrepancias, los ajustes son considerados por el tribunal examinador."