El teorema de Bayes

Las dudas bayesianas

Cuando la probabilidad se encuentra con la vida real

Cuando se enfrenta a una decisión difícil, ¿debe ir con su instinto o calcular cuidadosamente los riesgos de la asistencia?

Dan Page || Quanta Magazine



Es natural que los pensadores científicos intenten aplicar métodos racionales para evaluar el riesgo en la vida cotidiana. ¿Debería vacunarse contra la gripe, por ejemplo, si tiene menos de 40 años y goza de buena salud? ¿Deberías saltar de un avión (con un paracaídas)? Sin embargo, el noble objetivo de aplicar la razón a la evaluación de riesgos se ve frustrado por dos cosas: en primer lugar, en ausencia de certidumbre, generalmente tomamos decisiones basadas en una combinación de instinto y conveniencia a nivel intestinal, y muy a menudo eso parece funcionar bien; y segundo, constantemente nos atacan los eventos aleatorios múltiples que cambian constantemente. Cómo la aleatoriedad gobierna nuestras vidas fue, de hecho, el subtítulo de un best-seller muy instructivo sobre la aleatoriedad de Leonard Mlodinow. Esta constante sacudida por fuerzas aleatorias queda vívidamente ilustrada por este delicioso extracto, parafraseado de una historia infantil mucho más larga de 1964 llamada Afortunadamente por Remy Charlip, que ancla nuestro primer problema de rompecabezas.

Problema 1

Un hombre se fue en un viaje en avión.

Desafortunadamente, se cayó.

Afortunadamente, tenía un paracaídas.

Desafortunadamente, el paracaídas no se abrió.

Afortunadamente, había un pajar debajo de él, directamente en el camino de su caída.

Desafortunadamente, había una horca que sobresalía de la parte superior del pajar, directamente en el camino de su caída.

Afortunadamente, se perdió la horca.

Desafortunadamente, se perdió el pajar.

De hecho, se han producido supuestos casos de personas que sobrevivieron a caídas desde aviones al aterrizar en almiares, o incluso al caerse en árboles o arbustos, como lo revelará una rápida búsqueda en línea. Entonces los gritos alternos dentro de la cabeza de este hombre imaginario - "¡Estoy muerto!" / "¡Estoy salvado!" - no son concluyentes hasta el triste final. (¡Aunque nuestra historia parece terminar trágicamente, en el original el protagonista sobrevive con muchos más abruptos cambios de fortuna!) ¿Pueden aplicarse aquí los métodos de estimación de riesgo basados ​​en principios? Dada la información disponible, calcule sus probabilidades de supervivencia al final de cada línea anterior.

Esta historia ilustra dramáticamente dos aspectos importantes de hacer juicios probabilísticos: Primero, las probabilidades pueden cambiar apreciablemente, incluso salvajemente, a medida que el nuevo conocimiento esté disponible, y segundo, no importa cuánto acumule las probabilidades a su favor, el resultado final se cristaliza en un solo resultado: vida o muerte, sí o no. En raras ocasiones, este puede no ser el resultado favorable que esperaba. Al igual que con el colapso de la función de onda en mecánica cuántica, ilustrado por el famoso experimento mental de Erwin Schrödinger de un gato en una caja que podría estar vivo o muerto, las probabilidades dejan de ser significativas después de que ocurre el evento. ¿Cuál es, entonces, el valor de tales cálculos? Examinemos este tema más de cerca.

Quizás el mejor método para tratar racionalmente con la aleatoriedad y el riesgo en nuestra vida cotidiana es el pensamiento bayesiano, que lleva el nombre del estadístico del siglo XVIII Thomas Bayes. El pensamiento bayesiano se basa en algunos principios importantes. Primero, la probabilidad se interpreta subjetivamente como "credibilidad": una cuantificación razonable de la creencia personal sobre la posibilidad de un resultado; segundo, cuando los datos de frecuencia confiables están disponibles, esta credibilidad debe ser igual al cálculo de probabilidad objetivo; en tercer lugar, todos los conocimientos previos objetivos relevantes que tenga deben tenerse en cuenta en su estimación inicial; y finalmente, debes actualizar tus probabilidades a la luz de nueva información. Si siempre confía en las estimaciones probabilísticas más confiables y objetivas "basadas en datos", manteniendo un registro de las posibles incertidumbres, el número de probabilidad final que llegue será el mejor posible.

Cuando se enfrentó a una decisión médica real sobre si tratar su fibrilación auricular con un procedimiento médico algo arriesgado que no estaba garantizado para tener éxito, el eminente matemático Timothy Gowers recurrió a un cálculo detallado de riesgo-beneficio. Afortunadamente, resultó muy bien para Gowers, quien también es cofundador del proyecto Polymath. A diferencia del dilema de Gowers, sin embargo, la mayoría de los riesgos que enfrentamos son pequeños, y los costos no son grandes. Pero el siguiente problema ilustra el beneficio a largo plazo de adoptar un enfoque bayesiano.

Problema 2

El número de muertes en aerolíneas comerciales es de aproximadamente 0.2 muertes por cada 10 mil millones de millas de vuelo. Para conducir, la tasa es de 150 muertes por cada 10 mil millones de millas por vehículo. Si bien esta tasa es aproximadamente 750 veces más alta que en el caso de los viajes aéreos, aún hacemos largos viajes por carretera porque los riesgos absolutos son pequeños. Pero prosigamos con un experimento mental usando dos suposiciones hipotéticas y ciertamente irreales: primero, que su esperanza de vida es de 1 millón de años (¡y disfruta cada año de eso!), Y segundo, que los riesgos anteriores permanecen iguales durante esos millones años. Ahora imagine que cada año puede volar 10,000 millas o cubrir esa distancia en auto en múltiples viajes por carretera. El tiempo que pasas no es una preocupación en absoluto, después de todo, ¡tienes un millón de años para vivir! En estas condiciones, ¿cuántos años y en qué proporción se acortaría su vida si viviera un millón de años y condujera cada vez en lugar de volar? ¿Cómo sería su respuesta diferente para una vida más normal de 100 años?

Lo que esto demuestra es que, incluso si los cálculos de probabilidad se vuelven irrelevantes después del evento, de manera prospectiva, todavía te dan las mejores oportunidades a largo plazo. No vivimos un millón de años, pero a lo largo de nuestras vidas tomamos decenas de miles de decisiones sobre dónde y cómo viajar, qué comer, si hacer ejercicio y demás. Aunque el impacto probable de cada una de estas decisiones sobre nuestra longevidad es pequeño, su efecto combinado puede ser sustancial. Por lo menos, para decisiones importantes, como qué procedimiento someterse a una afección médica grave, es probable que se justifique una consideración detallada más allá de los instintos viscerales.

Y luego, por supuesto, existen situaciones bien definidas en las que nuestros instintos intestinales son demostrablemente incorrectos. Este es un elemento básico de los libros de texto estándar sobre métodos bayesianos. Un ejemplo es el procedimiento de prueba bastante bueno pero no perfecto, que nos lleva a nuestra tercera pregunta.

Problema 3

Aquí hay dos escenarios similares en los que tiene que hacer juicios de probabilidad. Antes de hacer un cálculo exacto, arriesgue una conjetura intuitiva y apúntela.

Variación A: Una cierta ciudad tiene dos grupos étnicos, los Uno y los Dos. Los que componen el 80 por ciento de la población. Una clínica hospitalaria lleva a cabo una prueba de detección estándar e imparcial para una enfermedad rara que es igualmente común en ambos grupos. Resulta en la recolección de 100 muestras de sangre, y de hecho, 80 de las muestras provienen de Uno. En pruebas más rigurosas, solo una de las 100 muestras es positiva para la enfermedad. Un investigador que no tiene acceso a los datos de origen étnico debido a las leyes HIPAA ejecuta una prueba en esta muestra, que determina que proviene de un Dos. Sin embargo, se sabe que esta prueba de determinación étnica es solo 75 por ciento precisa. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra provenga realmente de un Dos?

Variación B: en esta variación, uno y dos representan el 50 por ciento de la población, pero es más probable que tengan la enfermedad rara. El mismo procedimiento de selección que el anterior recoge 100 muestras de sangre, nuevamente produciendo 80 de Unos y 20 de Dos. El resto del problema es exactamente lo mismo. Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra enferma en realidad provenga de un Dos?

¿En cuál de los dos casos tu intuición fue más precisa?

Sabemos que nuestras intuiciones a menudo nos fallan al estimar probabilidades, a pesar de que pueden sentirse bien en ese momento. Incluso pueden tropezar con expertos, como lo demuestra el alboroto sobre el problema de Monty Hall. Como dijo una vez el decano de los escritores de crucigramas, Martin Gardner: "En ninguna otra rama de las matemáticas es tan fácil equivocarse para los expertos como en la teoría de la probabilidad". Nuestro tercer rompecabezas es un ejemplo de un tipo de problema que permite a los investigadores de la psicología identifique el tipo de razonamiento que usamos para llegar a nuestras conclusiones intuitivas, y qué hace que sean precisas o erróneas.

Se alienta a los lectores a comentar sobre las formas en que han utilizado los cálculos de probabilidad al tomar decisiones en la vida real, y cuál es el mejor enfoque para hacerlo.

Nos vemos pronto (probablemente) para discutir nuevas ideas. ¡Feliz desconcertante!

Nota: Este artículo fue actualizado el 8 de febrero de 2018, para usar unidades de "milla de vuelo" que corresponden mejor a las unidades de "milla de vehículo" al comparar los riesgos de volar versus conducir.