Econ 101: Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
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El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans o el modelo de crecimiento de Ramsey es un modelo neoclásico de crecimiento económico basado principalmente en el trabajo del economista y matemático Frank P. Ramsey, con extensiones significativas hechas por David Cass y Koopmans Tjalling. El modelo de Ramsey difiere del modelo de Solow ya que modeliza explícitamente la elección de consumo en un punto en el tiempo y así como endogeneiza la tasa de ahorro. Como resultado, al contrario que en el modelo de Solow, la tasa de ahorro puede no ser constante a lo largo de la transición al estado de equilibrio a largo plazo. Otra implicación del modelo es que el resultado es un óptimo de Pareto o Pareto eficiente. Este resultado se debe no sólo a la endogeneidad de la tasa de ahorro, sino también por la naturaleza infinita del horizonte de planificación de los agentes en el modelo, sino que no se sostiene en otros modelos con tasas de ahorro endógenas sino dinámicas intergeneracionales más complejas, por ejemplo, modelos generaciones superpuestas de Samuelson o Diamond.

Originalmente Ramsey establece el modelo como el problema de un planificador central de maximizar los niveles de consumo a lo largo de sucesivas generaciones. Sólo más tarde fue un modelo adoptado por los investigadores posteriores como una descripción de una economía dinámica y descentralizada.


Gráfico de espacio de fase (o diagrama de fases) del modelo de Ramsey. La línea azul representa el ajuste dinámico (o silla) Ruta de la economía en la que todas las limitaciones presentes en el modelo están satisfechos. Es un camino estable del sistema dinámico. Las líneas rojas representan trayectorias dinámicas que se rigen por la condición de transversalidad.


Ecuaciones fundamentales del modelo de Ramsey 

Hay dos ecuaciones fundamentales del modelo de Ramsey. La primera es la ley del movimiento de acumulación de capital:

donde k es el capital por trabajador,  es el cambio en el capital por trabajador en el tiempo, c es el consumo por trabajador, f (k) es la producción por trabajador, y   es la tasa de depreciación del capital. Esta ecuación simplemente establece que la inversión, o el aumento de capital por trabajador es la parte de la producción que no se consume, menos la tasa de depreciación del capital. La inversión es, por lo tanto, el mismo que ahorro.

donde I es el nivel de inversión, Y es el nivel de ingresos y s es la tasa de ahorro, o la proporción de los ingresos que se ahorra.

La segunda ecuación se refiere al comportamiento del ahorro de los hogares y es menos intuitiva. Si los hogares maximizan su consumo intertemporal, en cada punto en el tiempo que igualan el beneficio marginal del consumo actual con el de consumo en el futuro, o lo que es equivalente, el beneficio marginal del consumo en el futuro con su costo marginal. Debido a que este es un problema intertemporal esto significa una igualación de las tasas en lugar de los niveles. Hay dos razones por las que las familias prefieren consumir ahora y no en el futuro. En primer lugar, descontar el consumo futuro. En segundo lugar, debido a que la función de utilidad es cóncava, las familias prefieren una trayectoria de consumo suave. Un aumento o disminución de una trayectoria de consumo reduce la utilidad del consumo en el futuro. Por lo tanto la siguiente relación caracteriza a la relación óptima entre los diversos tipos de:
tasa de rendimiento del ahorro = velocidad a la que se descuenta el consumo - porcentaje de cambio en tiempos de utilidad marginal del crecimiento del consumo.
Matemáticamente:

,

Una clase de funciones de utilidad que son compatibles con un estado constante de este modelo son las funciones de utilidad isoelástica o funciones de aversión relativa al riesgo constante (CRRA), dada por:

,

En este caso tenemos:

A continuación, la solución de la ecuación dinámica por encima del crecimiento del consumo se obtiene:

,

que es la segunda ecuación dinámica fundamental del modelo y por lo general se llama la "ecuación de Euler".
Con una función de producción neoclásica con rendimientos constantes a escala, la tasa de interés, r, será igual al producto marginal del capital por trabajador. Un caso particular es dada por la función de producción Cobb-Douglas

,

lo que implica que la tasa de interés bruto es

,

por lo tanto, la tasa de interés neta r

,

Fijando a  y  igual a cero se encuentra el estado de equilibrio de este modelo.


Leer más

• Ramsey, Frank P. (1928). "A Mathematical Theory of Saving". Economic Journal 38 (152): 543–559. JSTOR 2224098.
• Dasgupta, Partha S.; Heal, Geoffrey M. (1980). Economic Theory and Exhaustible Resources. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0720203120. [1]
• Romer, David (2011). Advanced Macroeconomics (Fourth ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 9780073511375. (See chapter 2). [2]