Matemáticas y macroeconomía: Falta de una formalización hacia lo real

¿Cómo la 'Matematicidad' me hizo hastiarme de la Economía?

Por Noah Smith - Bloomberg View
El celebrado economista de crecimiento Paul Romer - cuyo nombre está en la lista reducida regularmente para el Premio Nobel - recientemente causó un gran revuelo con un trabajo en los American Economic Review Papers and Proceedings llamado "La Matematicidad en la Teoría del Crecimiento Económico". El documento es una maravilla de frustración contra las personas que Romer piensa que la teoría matemática ha abusado al no establecer un vínculo estrecho entre elementos matemáticos y del mundo real. El más destacado entre los objetivos de Romer son los macroeconomistas ganadores del Nobel Robert Lucas y Edward Prescott.

Para mí, el ensayo de Romer demuestra dos cosas. La primera, y más entretenida, es que muchos economistas de alto nivel se han molestado por Lucas y Prescott. El segundo, y más importante, es que hay una crisis tranquila en la teoría macroeconómica como un todo.

En primer lugar, la pelea. Lucas, Prescott y su gran grupo de seguidores (conocido como la tribu del "agua dulce" porque los lugares que trabajan tienden a estar lejos de las costas) han presionado sin descanso para las teorías en las que no hay necesidad de la intervención del gobierno en la economía. Fueron conocidos por agresivo - aunque en última instancia fallidos - nuevos ataques a la macroeconomía keynesiana. Su menosprecio de las ideas keynesianas les ha ganado en varias ocasiones la ira de Paul Krugman y Brad DeLong, pero dentro de la profesión de su influencia fue tal que las críticas fueron por lo general se susurraron a puerta cerrada.

No más. Romer no es la primera empollón de la matemáticas de modales suaves a salir escupe fuego contra la gente de agua dulce en los últimos meses. En diciembre, Roger Farmer en UCLA denunció la gente de agua dulce y el paradigma de que habían forzado a la teoría del ciclo económico.

Así que los enemigos de la tribu de agua dulce están finalmente hablando. ¡Me pregunto quién será el próximo!

La erupción de la matematicidad de Romer - que tiene una deuda con la "verdicidad" del comediante Stephen Colbert - va mucho más profundo que la pelea con la gente de agua dulce. Realmente, es sobre el papel de las matemáticas en la teoría económica.

La Economía tiene un montón de matemáticas. En ningún otro tema, excepto las matemáticas sí habrá que ver tantas pruebas y teoremas. Algunas ramas del economía, como la teoría de juegos, legítimamente podrían estar alojadas en los departamentos de matemáticas de la universidad. Pero incluso en campos como la macroeconomía, que ostensiblemente se ocupan de fenómenos del mundo real, las matemáticas son el centro de todo lo que los economistas hacen.

Pero la forma en matemáticas se utiliza en la macroeconomía no es el mismo que en las ciencias duras. Esto no es algo que la mayoría de los no economistas dan cuenta, así que creo que mejor que me explique.

En la física, si se escribe una ecuación, se espera que las variables que corresponden a las cosas reales que se pueden medir y predecir. Por ejemplo, si usted escribe una ecuación para la trayectoria de una bala de cañón, que se puede esperar que la ecuación le haga saber cómo apuntar su cañón para golpear realmente algo. Esta estrecha correspondencia entre las matemáticas y la realidad es lo que nos permitió aterrizar la nave espacial en la Luna. También permitió a los ingenieros construir su equipo, el coche y la mayoría de las cosas que usted usa.

Algunos en economía son de la misma manera, sobre todo en la microeconomía, o el estudio de las acciones de los individuos - se puede predecir qué tipo de subasta se ha podido ir a los precios más altos, o cuántas personas va a montar en un tren. Pero la macroeconomía, que se ve en la economía en general, es diferente. La mayoría de las ecuaciones de los modelos no son apoyados por pruebas. Por ejemplo, algo que se llama la ecuación de consumo de Euler está en la base de casi todos los modelos macroeconómica modernos. En él se especifica una relación entre el crecimiento del consumo y de las tasas de interés. Pero cuando los investigadores analizaron los datos reales sobre el crecimiento del consumo y las tasas de interés, se encontraron con que la ecuación da exactamente las predicciones equivocadas! Sin embargo, continúa siendo utilizado como el núcleo de casi todos los modelos macro.

Si usted lee la literatura macro, verá que casi todos los journales famosos y respetados están llenos de este tipo de ecuaciones que no coinciden con la realidad. En este trabajo se predice que todo el mundo tendrá la misma cantidad de dinero en efectivo. En este trabajo se predice que la gente compra los activos financieros que sólo pagan apagado si las personas son capaces de cambiar el salario que piden recibir. Estos y muchos otros enunciados matemáticos no se corresponden de forma remota a la realidad observable, ni tienen ninguna prueba en apoyo de ellos. Sin embargo, ellos se lanzan en grandes modelos de múltiples ecuaciones, y esos modelos son luego juzgados sólo en lo bien que encajan los datos agregados (que por lo general no está muy bien).

Ese enfoque conjunto nunca volaría en ingeniería. La ingeniería es algo que un espera que funcione. Pero macroeconomistas a menudo tratan a sus modelos como simples formas, en palabras de David Andolfatto, vicepresidente del Banco de la Reserva Federal de St. Louis, "de organizar nuestro pensamiento" sobre el mundo. En otras palabras, los macroeconomistas usan las matemáticas para hacer sus pensamientos concretos, para persuadir a los demás, y para comprobar la consistencia interna de sus ideas (a veces absurdas), pero no para predecir realmente las cosas en el mundo real.

Volviendo a la queja de Romer. Él señala a Lucas, Prescott y algunos otros de tener vínculos tenues o descuidados entre elementos matemáticos y del mundo real. Pero por lo que puedo ver, esos vínculos tenues y descuidados son la regla en los campos de macro. Romer dice que está "hastiado" por decir eso, y que se trataba de manzanas podridas como Lucas y Prescott que agriaron la teoría macroeconómica. Bueno, tiene razón que estoy hastiado, y tiene razón de que estaba aprendiendo acerca de los modelos de Prescott que me convertí hastiado. Romer, tenés razón.

Pero cuando miré más allá de esos modelos, a los modelos más antiguos o más nuevos, encontré lo que parecía ser sólo una diferencia de grado, no en especie. La teoría macroeconómica está lleno de matematicidad. No es sólo Lucas y Prescott, es toda la cultura científica del campo.

Romer dice que en el nuevo, la cultura degradada de la macroeconomía, "trabajo empírico es la ciencia; la teoría es entretenimiento." Tal vez eso está cerca de la manera racional de pensar en las cosas. Ahora que tecnología de la información está proporcionando a la economía con una avalancha de nuevos datos, el porcentaje de trabajos de teoría en las mejores revistas está cayendo. Tal vez los economistas están empezando a ver la matematicidad como lo que es, y descontarlas en consecuencia.

Herramientas físicas para resolver problemas de matching

Un nuevo enfoque para el problema del matching

Stephan Mertens, Institut für Physik Theoretische, Universität Magdeburg, Postfach 4120, 39016 Magdeburg, Alemania y Santa Fe Institute, 1399 Hyde Park Rd., Santa Fe, NM 87501, EE.UU.
Publicado 21 de julio 2014 | Física 7, 77 (2014) | DOI: 10.1103/Physics.7.77
Herramientas matemáticas de la física están permitiendo nuevas formas de estudiar un problema de optimización clásica.


Figura 1: El problema de la concordancia bipartito euclidiana se pregunta: ¿Cómo se conecta los puntos rojos con los puntos azules de tal manera que la longitud total de conexiones en minimiza?

Figura 2 El problema del transporte Monge-Kantorovich pregunta: ¿Cómo se mueven las mejores pilas de arena para llenar los agujeros del mismo volumen total?

Optimización combinatoria problemas-de los cuales el más famoso es el problema-ha viajante pertenecido tradicionalmente a los reinos de la informática y las matemáticas, pero en las últimas décadas, importantes contribuciones también provienen de la física estadística. Los físicos han desarrollado un conjunto de potentes herramientas matemáticas para analizar los modelos de sistemas con el desorden y la frustración, y resulta que estos métodos con éxito pueden ser aplicados a problemas de optimización también [1]. En Physical Review E, Sergio Caracciolo en la Universidad de Milán, Italia, y sus colegas utilizaron un nuevo método inspirado en la resolución de problemas en física para investigar un problema clásico de optimización combinatoria, llamado el problema de la concordancia bipartito euclidiana. Se las arreglaron para calcular la función de escala del problema de optimización; a saber, cómo el costo de la solución óptima se escala con el tamaño y la dimensión del sistema [2]. Esta función es una serie infinita y si bien los enfoques anteriores han sido capaces de averiguar los primeros términos (líderes) de la serie, Carraciolo et al. son los primeros en ser capaz de calcular los próximos (subleading) los términos de la serie. Su enfoque novela explora la conexión entre el problema de la concordancia discreto y un problema de optimización continua desde el siglo 18.

El problema de la concordancia bipartito euclidiana se ilustra mejor con un ejemplo. Usted es un gerente de ventas de una empresa, y tiene n vendedores en el camino para cumplir con los clientes. Sus vendedores se encuentran actualmente en n ciudades, y quiere reubicarlos en n las nuevas ciudades de tal manera que la distancia total recorrida por su fuerza de ventas se reduce al mínimo. Usted dibuja todas las ciudades 2n en un mapa y colorear las ubicaciones actuales de los vendedores de color rojo y los nuevos destinos azules. Su tarea es entonces para que coincida con las ciudades en pares rojo-azul de tal manera que la suma de las distancias rojo-azul en su juego se minimiza (Fig. 1). El término bipartito en este problema de la concordancia se refiere al hecho de que estamos igualando elementos de dos conjuntos disyuntivas (ciudades "azul", "rojo", y). En el problema general coincidente bipartito que estamos buscando una permutación π que minimiza la función de coste E (π) = n-1Σni = 1wi, π (i), donde wij corresponden al costo de hacer coincidir tinto elemento i con el elemento azul j . En el problema de la concordancia de Euclides, wij es la distancia geométrica entre la ciudad de rojo y azul de la ciudad i j.

Como los algoritmos de ir, el problema general coincidente bipartito es "fácil" ya que sabemos algoritmos eficientes que pueden encontrar soluciones en tiempo polinómico. Pero algoritmos miran el caso problema al caso, no nos dicen mucho acerca de las propiedades genéricas de emparejamientos óptimos. Un ejemplo sencillo es la relación entre el tamaño n del problema y el valor de coste de la adaptación óptima. Para valores grandes de n esta relación de escala se vuelve independiente de casos particulares y representa una característica genérica de la problema de la concordancia. En el caso del problema de la concordancia de Euclides, esperamos que, dado un punto rojo, los puntos azules más cercanas se encuentran en un volumen del orden de O (n-1) a su alrededor. De ahí que sus distancias desde el punto rojo son de orden O (n-1 / d), donde d es la dimensión espacial. Suponiendo que en una correspondencia óptima, cada punto de color rojo se corresponde con uno de sus vecinos más cercanos, el coste óptimo debe escalar como O (n-1 / D). Este es de hecho el (primer orden) término dominante de la función de escala para valores grandes de n, por lo menos para d> 2 [3]. Carraciolo et al. ir más allá de este resultado calculando el término subleading de la función de escalado.

Las herramientas matemáticas establecidas de la física estadística funcionan mejor si el wij costos se puede considerar variables aleatorias independientes. Pero en el problema de correspondencia euclidiana aleatoria considerado por Carraciolo et al., Las posiciones aleatorias de los puntos en el espacio d-dimensional son independientes y las distancias wij resultante se correlacionan variables aleatorias. Por lo tanto Carraciolo et al. tuvieron que buscar una solución alternativa y encontraron una que es a la vez simple y sorprendente [2]: se deshacen de la naturaleza discreta del problema a juego y el recurso a una generalización continua para los que una expresión analítica para el coste mínimo puede ser calculado.

Una vez más, un ejemplo ayudará a entender este problema continua. Imaginemos que en lugar de enviar los vendedores de rojo a azul ciudades queremos mover montones de arena para rellenar agujeros (Fig. 2). El volumen total de la arena es igual al volumen total de agujeros, pero la cantidad de arena varía de pila a pila, y el volumen de los agujeros varía, también. La tarea es minimizar la distancia total que es recorrida por todos los granos de arena. Este problema se conoce como el problema del transporte Monge-Kantoróvich. Fue introducido por Gaspard Monge en 1781 [4], como el problema de "excavación y terraplenes" (les déblais et les remblais).

Ambas pilas de arena y agujeros ya no se caracterizan por puntos en el espacio, pero por distribuciones continuas. Y la arena de una pila puede ir a diferentes hoyos. El problema Monge-Kantoróvich es una generalización continua del problema de la concordancia bipartito euclidiana, y, como tal, que parece ser más difícil de analizar que la versión discreta. Pero, sorprendentemente, este no es el caso.

La solución del problema Monge-Kantorovich es trivial en el caso límite en el que sólo hay un agujero que se extiende por toda la zona, con una profundidad constante, y la arena que se distribuye de manera uniforme sobre el agujero: simplemente dejamos cada grano de arena caiga donde está. Caracciolo et al. partir de esta sencilla solución y considerar el caso de las pequeñas desviaciones de la distribución uniforme tanto para la arena y agujeros. La naturaleza continua del problema que les permite obtener una expresión analítica para el costo de transporte se espera en términos de las pequeñas desviaciones de la distribución uniforme. (El enfoque es similar a la utilizada para analizar pequeñas distorsiones transversales de una membrana elástica continua.) Las matemáticas involucradas es básicamente análisis de vectores, la ecuación de Poisson, y de Fourier de transformación-muy motivos familiares para los físicos.

Luego, los autores afirman que en el límite n grande, la discreta problema de correspondencia euclidiana es similar al caso de las pequeñas desviaciones de la distribución uniforme en el problema Monge-Kantorovich. Esta es una suposición razonable, ya que las ciudades en el problema azar juego euclidiana son muestras finitas de la distribución uniforme. Los autores no especifican la similitud en términos técnicos o incluso lo demuestran. Más bien, ellos audazmente aplican la fórmula de la solución continua para el caso discreto para obtener la escala asintótica del problema bipartito euclidiana azar coincidente en d espacio tridimensional. Su enfoque reproduce el orden de liderazgo conocido de la función de escala en todas las dimensiones d y también produce el término subleading completa para d> 2 y las constantes previamente desconocidas en el término principal para que d = 1 yd = 2.

El cambio de discreta para las variables continuas es un patrón común en la informática para diseñar potentes algoritmos para problemas de optimización [5]. Caracciolo et al. demuestran que esta idea también se puede utilizar para analizar los casos al azar de problemas de optimización combinatoria. Sus resultados mejoran nuestro conocimiento acerca de la escala del problema de la concordancia euclidiana. Queda por ver si su método puede ser extendido a otros problemas de optimización.

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