Matemática: La complejidad de Navier-Stokes... ¿cómo se aplicaría a la economía?

¿Qué hace que las ecuaciones más difíciles en física sean tan difíciles?

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen fenómenos simples y cotidianos, como el agua que fluye de una manguera de jardín, pero proporcionan un desafío matemático de un millón de dólares.




Kevin Hartnett  |  Quanta Magazine

La física contiene ecuaciones que describen todo, desde el estiramiento del espacio-tiempo hasta el flitter de los fotones. Sin embargo, solo un conjunto de ecuaciones se considera matemáticamente desafiante y ha sido elegido como uno de los siete "Premios del Milenio" otorgados por el Clay Mathematics Institute con una recompensa de $ 1 millón: las ecuaciones de Navier-Stokes, que describen cómo fluyen los fluidos.

El mes pasado escribí una historia sobre un nuevo resultado importante relacionado con esas ecuaciones. En todo caso, el nuevo trabajo sugiere que el progreso en el Premio del Milenio será aún más difícil de lo esperado. ¿Por qué estas ecuaciones, que describen fenómenos familiares como el agua que fluye a través de una manguera, son mucho más difíciles de comprender matemáticamente que, por ejemplo, las ecuaciones de campo de Einstein, que implican objetos estupefacientes como los agujeros negros?

La respuesta, descubrí, es la turbulencia. Es algo que todos hemos experimentado, ya sea volando a través de aire entrecortado a 30,000 pies o viendo un remolino acumularse en el desagüe de la bañera. Sin embargo, la familiaridad no ha generado conocimiento: la turbulencia es una de las partes menos entendidas del mundo físico.



Un ejemplo de un flujo no turbulento es un río suave: cada parte del río se mueve en la misma dirección a la misma velocidad. Un fluido turbulento es la fracturación de ese río, de modo que diferentes partes del flujo se mueven en diferentes direcciones a diferentes velocidades. Los físicos describen la formación de turbulencias como, primero, un remolino en un flujo suave, y luego la formación de remolinos dentro de ese remolino, y remolinos más finos dentro de esos remolinos: se desplazan hacia abajo, de modo que el fluido se rompe en partes discretas , todos interactuando, cada uno moviéndose a su manera.

Los investigadores quieren entender exactamente cómo un flujo suave se descompone en un flujo turbulento y modelar la forma futura de un fluido una vez que la turbulencia ha tomado el control. Pero el Premio del Milenio pide algo mucho más modesto: demostrar que las soluciones siempre existirán. Es decir, ¿pueden las ecuaciones describir cualquier fluido, desde cualquier condición inicial, indefinidamente en el futuro?

"Un primer paso es simplemente tratar de demostrar que las ecuaciones dan lugar a algunas soluciones", dijo Charlie Fefferman, un matemático de la Universidad de Princeton. "Eso no da una comprensión real de cómo se comportan los líquidos, pero si no tienes eso, no sabes nada".

Entonces, ¿cómo demuestra que existen soluciones? Bueno, comienza pensando en lo que podría hacer que no existan. Las ecuaciones de Navier-Stokes implican el cálculo de cambios en cantidades como la velocidad y la presión. Los matemáticos se preocupan por este tipo de escenario: estás ejecutando las ecuaciones, y después de una cantidad finita de tiempo, te dicen que una partícula en el fluido se mueve infinitamente rápido. Eso sería un problema porque no puede calcular el cambio de un valor infinito más de lo que puede dividir por cero. Los matemáticos se refieren a tales escenarios como "explosión", y en un escenario de expansión, diría que las ecuaciones se rompen y que las soluciones no existen.





Demostrar que la explosión no ocurre (y que las soluciones siempre existen) equivale a demostrar que la velocidad máxima de cualquier partícula dentro del fluido permanece limitada por debajo de un número finito. Una de las cantidades más importantes de estas es la energía cinética en el fluido.

Cuando comiences a modelar un flujo usando Navier-Stokes, tu fluido tendrá una cantidad inicial de energía. Pero en un flujo turbulento, esa energía puede concentrarse. En lugar de distribuirse uniformemente a través del río, la energía cinética se puede acumular en remolinos arbitrariamente pequeños, y las partículas en esos remolinos podrían (en teoría) acelerarse a una velocidad infinita.

"A medida que voy a escalas cada vez más pequeñas, la energía cinética se vuelve cada vez menos útil para controlar la solución. Mi solución puede hacer lo que quiera, y no sabré cómo controlarla ", dijo Vlad Vicol, un matemático de la Universidad de Princeton y coautor con Tristan Buckmaster del nuevo trabajo.

Los matemáticos clasifican las ecuaciones diferenciales parciales, como Navier-Stokes, en función del grado en que pueden descontrolarse a escalas infinitesimalmente pequeñas. Navier-Stokes está en el extremo del espectro. La dificultad de las matemáticas de la ecuación es, en cierto sentido, un reflejo exacto de la complejidad de los flujos turbulentos que supuestamente pueden describir.

"Cuando se acerca un punto, desde un punto de vista matemático se pierde información sobre la solución", dijo Vicol. "Pero la turbulencia está destinada a describir exactamente esto: la transferencia de energía cinética de escalas grandes a escalas más pequeñas y más pequeñas, por lo que es exactamente pedirle que haga un acercamiento".




Siempre que hable de las matemáticas de las ecuaciones de la física, es natural preguntarse: ¿algo de esto cambiará la manera en que pensamos sobre el mundo físico? Con las ecuaciones de Navier-Stokes y el Premio del Milenio, la respuesta es sí y no. Después de casi 200 años de experimentos, está claro que las ecuaciones funcionan: los flujos pronosticados por Navier-Stokes coinciden consistentemente con los flujos observados en los experimentos. Si eres un físico que trabaja en un laboratorio, esa correspondencia puede ser suficiente. Pero los matemáticos quieren saber más que eso: quieren poder verificar si se pueden seguir las ecuaciones en su totalidad, ver exactamente cómo cambia un flujo momento a momento (para cualquier configuración inicial de un fluido) e incluso señalar con precisión el inicio de la turbulencia

"El comportamiento de los fluidos proporciona sorpresas", dijo Fefferman. "Las sorpresas se explican en principio por las ecuaciones fundamentales que le dicen a los fluidos cómo moverse, pero obtener de las ecuaciones que le dicen a los fluidos cómo moverse a cualquier descripción de cómo se mueven realmente los fluidos es muy misterioso".