El rol del álgebra matricial en Econometría

The Matrix
por Walter Sosa Escudero
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Levanten la mano los que están a favor del uso de matrices en un curso básico. Ahora levanten la mano los que están a favor del uso de matrices en un curso avanzado. Ahora levantenlá los que están a favor de que las matrices desaparezcan por completo. Y ahí parece que me quedo solo como un idiota con mi mano alzada.
La pregunta de esta nota se refiere, obviamente, a cuánta álgebra matricial usar en un curso básico de econometría. Antes de argumentar, vayamos a las pruebas por autoridad o enumeración. A ver, en los libros muy básicos (Gujarati, Ashenfelter, etc.) no hay matrices, o están relegadas a un capitulo o un apéndice. En los libros más avanzados (Johnston, por ejemplo) hay matrices a troche y moche. Tambien las hay en Greene, en Davidson y MacKinnon, si vamos al caso. Ahora, en el libro de posgrado de Wooldridge casi no hay matrices (en todo caso, si aparecen, es como productos externos de vectores) y en el capitulo de Newey y McFadden (del Handbook of Economerics IV) no hay ningún matriz. Empiricamente parece haber una suerte de “curva de Kuznets” de las matrices: cuando uno empieza no hay matrices, después aparecen por todos lados, y luego desaparecen, como Kuznets decía que ocurria con la desigualdad a medida que una economía se desarrollaba. Ahora si en vez de movernos en el “grado de desarrollo” (Gujarati, Johnston, Newey) nos movemos en el tiempo, las matrices desaparecen aun más rápido: hay muchas menos matrices en el nuevo texto de Hansen o en las notas de Joris Pinkse que en Johnston-Di Nardo. Ni hablar del libro de Angrist y Pischke que creo que no tiene ninguna matriz (nuevamente, ¡los productos externos no cuentan!)
Mi primer encuentro con la econometría fue allá lejos en los ochenta, en épocas sin computadoras personales. Más allá de los esfuerzos de mis profesores (a quienes evoco con mucho respeto), el recuerdo que tengo de la econometría de otrora es el de una maraña infame de algebra matricial.
La impresión que le queda a varios es que el derrotero de la madurez econométrica pasa por las matrices, es lo que separa a las niñas de las damas; los machos sabemos matrices, los niñitos no. Ahora, existe un resultado viejo, pero revitalizado por Davidson y MacKinnon, rebautizado como Teorema de Frisch-Waugh-Lovell, que casi, casi, tira a las matrices por la borda. Una de las muchas consecuencias de este teorema es que casi cualquier resultado del modelo lineal con K variables estimado por el método de minimos cuadrados (o cualquier otro que proyecte, como minimos cuadrados generalizados o variables instrumentales) es reducible al caso de dos variables. En particular, cualquier elemento del vector de estimadores MCO puede escribirse como el resultante de un modelo con dos variables. O sea, y por sorprendente que parezca, parece que el modelo con K variables es un caso particular del modelo con dos variables. Si. Los reyes magos son tus padres, la lucha profesional es falsa y el “reduce fat fast” (que publicita Erik Estrada) no sirve para nada. El día que me enteré de esto (hace unos 20 años) casi me largo a llorar. ¡Tanto tiempo invertido en estas malditas matrices para que un teoremita me diga que en realidad casi todo puede escribirse sin matrices! Bueno, bueno, uno podría argumentar que para probar este teorema es necesario meter matrices, pero tampoco es estrictamente cierto (y si no me creen, vean el libro de Angrist y Pischke).
En síntesis, estoy casi convencido de que es posible dictar perfectamente un curso básico sin matrices y sin perder rigor. Por el contrario, liberados los alumnos del oprobio del algebra matricial sin sentido, pueden focalizar en interpretar los métodos y resultados o concentrarse en la formalidad correcta. Segundo, y contra lo que muchísima gente cree, uno debería pasar mucho más tiempo con el modelo simple con dos variables, que teorema de Frisch-Waugh-Lovell mediante, contiene en sus fauces al modelo con K variables.
No es este un argumento en contra de las formalizaciones, sino todo lo contrario. Quizas en un curso más avanzado convenga invertir en demostrar el teorema de Frisch-Waugh-Lovell para muestras finitas, y hasta para la población, lo que justifica una sana inversión en espacios de Hilbert.
Mi invitación honesta es a no formalizar al divino botón. Las cosas relevantes tienden a ser complejas, pero no necesariamente al reves. Y a veces pienso que los docentes complicamos las cosas para hacerles creer a los alumnos que son relevantes. Y ahí perdimos todos.
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PD: por contadictorio que parezca, opino que el economista medio sabe poco y mal álgebra. Un libro que me cambio mi visión del mundo es el de Axler (Linear Algebra Done Right), cuyo titulo patotero sugiere que va a hacer las cosas “de otra manera” (sin determinantes, con ooperadores lineales). No es lectura fácil, pero es realmente distinto al resto.